Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

527. Дифференцирование под знаком интеграла.

На основе теоремы Арцела легко получается и следующий результат, как аналог и обобщение теоремы 3 п° 507.

Теорема 3. Пусть функция определенная в прямоугольнике будет интегрируема по при любом постоянном у в . Предположим, далее, что во всей области существует частная производная также интегрируемая по х. Если эта производная, как функция двух переменных, ограничена:

то при любом у из для функции

имеет место формула

Доказательство. Взяв любое значение как и при доказательстве в п° 507 [см. 1(11)], будем иметь

Так как, по теореме Лагранжа,

то подинтегральная функция, зависящая от х и к, будет при всех значениях этих переменных ограничена (по абсолютной величине) постоянной Применяя к этому случаю теорему 2, мы можем перейти к пределу при под знаком интеграла, что и даст нам требуемый результат.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление