Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

528. Интегрирование под знаком интеграла.

В этом направлении имеет место предложение, значительно обобщающее теорему 4 п° 508.

Теорема 4. Пусть функция определенная в прямоугольнике интегрируема по (при постоянном и по у в (при постоянном Если, сверх того, функция ограничена

для всех упомянутых значений х и у, то существуют оба повторных интеграла

равны между собой.

Доказательство. Положим

Рассмотрим произвольную последовательность разбиений промежутка а части с длинами

подчиненных лишь тому условию, что с возрастанием стремится к 0. В каждой части разбиения по произволу возьмем значение и составим интегральную сумму для функции

Если положить

а перепишется в виде:

Так как, очевидно, существует предел

и к тому же для всех значений х и

то, по следствию п° 526 заключаем о существовании предела

Итак, предел этот существует., как бы ни делить промежуток на части (лишь бы наибольшая из длин их стремилась к нулю) и как бы ни выбирать в них значения . Отсюда ясно, что предел этот должен быть одним и тем же во всех случаях, т. е. что существует интеграл

Но подобным же образом можно доказать и существование интеграла , т. е. интегрируемость предельной для функции [см. (С)]. Тогда, применив к теорему 1, окончательно получаем

т. е.

Мы ограничились здесь случаем собственных интегралов. Если положить в основу доказанные для них теоремы, то можно было бы соответственно обобщить и результаты, относящиеся к несобственным интегралам; этим, однако, мы заниматься не будем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление