Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Эйлеровы интегралы

529. Эйлеров интеграл первого рода.

Так называется (по предложению Лежандра) интеграл вида

где Он представляет функцию от двух переменных параметров а и Ь: функцию В («Бета»).

Рассматриваемый интеграл, как мы знаем [483, 3) (а)], для положительных значений а и b (хотя бы и меньших единицы) сходится следовательно, действительно может быть положен в основу определения функции В. Установим некоторые ее свойства.

1°. Прежде всего, почти непосредственно (подстановкой получаем:

так что функция В является симметричной относительно а и .

2°. С помощью интегрирования по частям из формулы (1), при находим

откуда

Эту формулу можно применять с целью уменьшения пока остается больше 1; таким образом всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал

Впрочем, того же можно добиться и в отношении первого аргумента, так как - ввиду симметричности В - имеет место и другая формула приведения

Если равно натуральному числу то, последовательно применяя формулу (2), найдем:

Но

Поэтому для и - одновременно - для получается окончательное выражение

Если и а равно натуральному числу , то

Эту формулу можно применять и при или если под символом 0! разуметь 1.

3°. Дадим для функции В другое аналитическое представление, которое часто бывает полезно. Именно, если в интеграле (1) произвести подстановку , где у - новая переменная, изменяющаяся то и получим

4°. Положим в формуле считая, что мы найдем

Читатель узнает уже вычисленный выше интеграл, также связываемый с именем Эйлера [см. 519, 4) (а) или 522, 1°]. Подставляя его значение, приходим к формуле

Если, в частности, взять то получим:

Мы ограничимся этими немногими свойствами функции «Бета» потому, что - как увидим сейчас - она очень просто выражается через другую функцию - «Гамма», которая и будет главным предметом нашего изучения в настоящем параграфе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление