Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

531. Простейшие свойства функции Г.

1°. Функция при всех значениях непрерывна и имеет непрерывные же производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (6) под знаком интеграла, получим

Применение правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла 1

сходятся равномерно относительно а: первый при для 0 (мажоранта , а второй при для (мажоранта ).

Таким же путем можно убедиться и в существовании второй производной

и всех дальнейших.

2°. Из (6), интегрированием по частям, сразу получаем:

т. е.

Эта формула, повторно примененная, дает

Таким путем вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумента

Если в (10) взять и принять во внимание, что

то окажется, что

Функция Г является естественным распространением - на область любых положительных значений аргумента - факториала определенного лишь для натуральных значений

3°. Ход изменения функции Г. Теперь мы можем составить себе общее представление о поведении функции при возрастании а от 0 до

Из (11) и (12) имеем: так что, по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень производной Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная как видно из ее выражения (8, всегда положительна.

Рис. 64.

Следовательно, при производная и функция убывает, а при будет так что возрастает; при налицо минимум. Вычисление, которого мы не приводим, дает

Интересно установить еще предел для при приближении а к 0 или Из (11) [и из ] ясно, что

при . С другой стороны, ввиду (12)

График функции представлен на рис. 64. (Сейчас нам интересна его часть, лежащая в первом координатном углу.)

4°. Связь между функциями В и Г. Для того чтобы установить эту связь, мы подстановкой преобразуем (6) к виду:

Заменяя здесь а и одновременно на получим:

Умножим теперь обе части этот равенства на и проинтегрируем по от 0 до

В интеграле слева мы узнаем функцию [см. (4)]; справа же переставим интегралы. В результате получим [с учетом (13) и (6)]:

откуда, наконец,

Приведенный изящный вывод этого соотношения Эйлера принадлежит Дирихле. Впрочем, для обоснования его надлежит еще оправдать перестановку интегралов.

Мы сделаем это, ограничиваясь поначалу предположением, что Тогда для функции

оказываются выполненными все условия следствия п° 521: эта функция непрерывна (и притом положительна) для а интегралы

и

в свою очередь представляет собою непрерывные функции: первый - от для второй - от у для 0. Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (14) - для случая

Если же известно лишь, что то - по доказанному - имеем

А отсюда, используя формулы приведения (2), (2) для функции В и (9) для функции Г, легко вновь получить формулу (14) уже без ненужных ограничений.

5°. Формула дополнения. Если в формуле (14) положить (считая ), то, ввиду (5) и (11), получим соотношение [ср. 408 (30)]

которое и называется формулой дополнения.

При отсюда находим (так как ):

Если в интеграле

сделать подстановку то вновь получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:

6°. В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Эйлером) величину произведения любое натуральное число)

Переписав это произведение в обратном порядке:

перемножим оба выражения:

и к каждой паре множителей применим формулу дополнения. Мы получим

Теперь для вычисления произведения синусов (ср. стр. 621), рассмотрим тождество

и устремим в нем z к 1. В пределе:

или, приравнивая модули,

так что

Подставляя это в выражение для окончательно получаем:

7°. Интеграл Раабе. С формулой дополнения связано и вычисление важного интеграла:

очевидно, существующего, так как [см. (9)]

Заменяя а на 1 - а, можно написать

и, складывая:

Подставляя сюда значение уже известного нам [492, 1°] интеграла, найдем:

Раабе рассмотрел интеграл (при

Так как, очевидно,

[см. (9)], то интегрируя, находим для

Но сохраняет непрерывность и при переходя здесь к пределу при убеждаемся, что Подставляя значение (18), приходим к формуле Раабе:

8°. Формула Лежандра, Если в интеграле

сделать подстановку то получим

Заменим в обоих случаях функцию В ее выражением (14) через Г:

Сокращая на Г (а) и подставляя вместо Г его значение [см. (16)] придем к формуле Лежандра:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление