Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

532. Однозначное определение функции Г ее свойствами.

Мы знаем, что функция непрерывна вместе со своей производной для положительных значений аргумента. Кроме того [см. (9), (20) и (15)], она удовлетворяет функциональным уравнениям:

Мы покажем, что эти свойства в совокупности вполне характеризуют функцию Г (так что каждая функция, обладающая этими свойствами, тождественна с Г).

Одних свойств (I) и (II) для этого недостаточно, так как, наряду с Г, ими обладает и функция

Точно так же недостаточно и свойств (И) и (III), ибо они принадлежат и функции

Наконец, свойства (I) и (III) явно оставляют произвольными значения функции для Иначе обстоит дело, если налицо все три свойства. Впрочем, свойство (III) может быть заменено более слабым требованием, чтобы функция при не обращалась в 0, что как раз и вытекает из (III)

Итак, пусть функция для непрерывна вместе со своей производной, отлична от 0 и удовлетворяет соотношениям (I) и (II). Докажем, что тогда

Положим очевидно, функция также непрерывна вместе со своей производной и отлична от 0. Кроме того, так как обе удовлетворяют условиям (I) и (II), то удовлетворяет соотношениям

Из (Г) явствует, что при для существует конечный предел. Если принять его за значение то окажется непрерывной вместе со своей производной вплоть до

Заметим, что из (II) при следует, что значит, для всех Это дает нам право рассматривать функцию

которая также непрерывна вместе со своей производной для но удовлетворяет условиям:

Наконец, введем еще непрерывную функцию

она выполняет соотношения:

Из заменяя а на , получим

Если здесь снова заменить а сначала на а затем на и сложить полученные равенства, то найдем, что

Методом математической индукции легко установить общее соотношение

Но, каково бы ни было а, сумму слева можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла

Поэтому

[ввиду (I")]. В таком случае значит и Но мы видели, что так что

В заключение отметим еще, что требование дифференцируемости играет при этом существенную роль и не может быть отброшено. Если, например, положить

то в лице Да) будем иметь непрерывную функцию, удовлетворяющую условиям Вместе с тем так что Да) не сводится к постоянной!

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление