Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

533. Другая функциональная характеристика функции Г.

В предыдущем п° была дана характеристика функции как единственной непрерывной вместе со своей производной функции, удовлетворяющей функциональным уравнениям (I) и (II) и не обращающейся в 0 (для а Здесь же мы дадим более простую характеристику функции используя лишь одно функциональное уравнение (I), но налагая на функцию еще требование «логарифмической выпуклости», смысл которого мы сейчас выясним.

В п° 141 было дано определение выпуклой функции Положительная функция заданная в промежутке называется логарифмически выпуклой в этом промежутке, если ее логарифм оказывается выпуклой функцией. Так как

то в силу 142, 3° из логарифмической выпуклости функции вытекает ее выпуклость; обратное заключение, вообще, неверно. Таким образом, логарифмически выпуклые функции составляют лишь часть всего класса выпуклых функций.

Пользуясь теоремой 2 п° 143, можно установить условие логарифмической выпуклости: пусть положительная функция непрерывна вместе со своей производной в промежутке и имеет внутри промежутка конечную вторую производную тогда для логарифмической выпуклости функции в необходимо и достаточно, чтобы внутри было

Доказательство состоит в применении упомянутой теоремы к функции

Вернемся теперь к функции Ее первая и вторая производные выражаются формулами (8) и (8. По неравенству Буняковского [321, (13); 483, 7)]:

если положить здесь

получим:

Отсюда, по только что приведенному условию, функция в промежутке оказывается логарифмически выпуклой. Вот этим то свойством, совместно с уравнением (1), функция Г и определяется с точностью до постоянного множителя. Иными словами:

Если 1) в промежутке удовлетворяет уравнению (I)

логарифмически выпукла и

Допустим, что для выполнены все эти три условия.

Повторно применяя уравнение (I), придем к общему равенству

где и - любое натуральное число; отсюда, полагая [см. 3)] и заменяя и на найдем:

Отметим, что достаточно доказать совпадение с в промежутке ибо, вследствие (I), эти функции будут совпадать и повсюду. Пусть же Вспомним неравенство (6) п° 143

имеющее место для выпуклой функции при единственном условии: Применив дважды это неравенство к выпуклой, ввиду 2), функции при любом получим

или - с учетом (22) —

Отсюда следует

а значит:

Переходя теперь, с помощью формулы (21), к самому значению придем к неравенствам

Наконец, заменяя в первом из них и на представим полученные неравенства в виде:

Отсюда уже ясно, что

- в силу формулы (7) Эйлера-Гаусса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление