Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

534. Примеры.

1) Найти интеграл 1

Указание. Полагая сводим его к эйлерову интегралу первого рода.

Ответ.

Предлагается с помощью этого результата доказать, например, что при любом натуральном и

2) Вычислить интеграл

С помощью подстановки

предложенный интеграл приводится к виду

3) Найти интегралы

Указания, (а) Подстановка Подстановка и

Ответ, .

Отсюда, в свою очередь, может быть получен ряд любопытных интегралов. Например, если в последнем взять положить и сделать подстановку , то найдем:

4) Найти интегралы

Решение, (а) Полагая , приведем предложенный интеграл к интегралу

так что, используя задачу 1), будем иметь

(б) В частности, при получим отсюда

С помощью формулы Лежандра этот результат может быть переписан в виде:

(в) Наконец, полагая в где найдем (используя формулу дополнения)

5) Определить площадь Р фигуры, ограниченной кривою

Решение. Кривая имеет две петли - в одну и в три четверти; достаточно удвоить площадь одной из них. По формуле для площади в полярных координатах [338 (9)] имеем:

[см. зад. 4) (а) и соотношения (9), (12), (15)].

6) Определить (а) площадь Р фигуры, ограниченной одним витком кривой - натуральное число)

длину этого витка.

Решение,

[см. зад. 4) (б) и соотношения (9), (20)].

(б) По формуле для длины дуги в полярных координатах [329 (46)]

[см. зад. 4) (6)].

7) Вычислить интегралы

(а) Указание. Подстановка:

Ответ.

Указание. Подстановка:

Ответ.

8) Доказать, что

Решение. Положим 1

Подлежит доказательству равенство

Применяя к этим интегралам подстановки (соответственно) приведем их к эйлеровым интегралам первого рода. Затем придется лишь несколько раз использовать формулу дополнения.

9) Доказать формулу (принадлежащую Дирихле)

Указание. Подставить

и использовать перестановку интегралов по х и по у (случай положительной функции).

10) В задаче 12) п° 511 мы доказали тождество

(относительно обозначений см. в указанном месте). Затем, с помощью некоего предельного перехода было установлено, что Этот же результат можно было бы получить, вычислив величину левой части при каком-нибудь частном значении к.

Пусть тогда и тождество принимает вид

Интегралы

последовательными подстановками приводятся к эйлеровым интегралам первого рода:

так, что

Отсюда искомая постоянная

11) Разложить в ряды интегралы:

Решение.

если через [функция «дзета» Римана], как обычно, обозначить сумму последнего ряда. Мы воспользовались здесь теоремой об интегрировании положительного ряда [518] и формулой (13).

Если то этот результат можно представить в виде

ибо

12) Некоторое обобщение предыдущей задачи представляют разложения:

[11) (а) отсюда получается при

[11) (а) отсюда получается при .

13) Обозначая сумму гипергеометрического ряда [см. 441, 6)]

через доказать соотношение:

(Гаусс).

Считая рассмотрим интеграл 1

при Так как ряд

сходится (при фиксированном равномерно относительно z в промежутке [0, 1], то - умножая на интегрируемую в этом промежутке функцию полученный ряд можем интегрировать почленно. Мы придем к разложению

где

[см. (10)].

Таким образом,

Для получения формулы Гаусса остается лишь перейти здесь к пределу при (считая ). В ряде этот переход можно выполнить почленно - по теореме Абеля [437, 6°]. В интеграле же можно перейти к пределу под знаком интеграла - ввиду наличия мажоранты:

В результате [см. (14)]

откуда и следует доказываемое соотношение.

Из него, в частности, при а получается [с учетом (11), (9), (15)], любопытное разложение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление