Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

535. Логарифмическая производная функции Г.

Продолжая изучение свойств функции Г, обратимся к рассмотрению ее логарифмической производной, т. е. выражения

9°. Различные представления этого выражения в виде интегралов можно получить и из формулы (8). Но проще исходить из следующих

соображений. Имеем:

так что, если перейти здесь к пределу при ,

Возьмем сначала [см. (6) и (4)]:

Тогда

и, выполняя предельный переход под знаком интеграла, получим формулу Коши:

Для оправдания предельного перехода заметим, что вблизи выражение

будет непрерывной функцией от x и Для достаточно больших имеется мажоранта:

Если же в выражении (1) для В сначала сделать подстановку

то можно написать

Переходя здесь к пределу под знаком интеграла (что оправдывается аналогично), придем к другой формуле:

Наоборот, можно вовсе устранить показательные выражения из подинтегральной функции. С этой целью положим в

где С есть так называемая эйлерова постоянная Вычитая почленно это равенство из (23), получим

Наконец, подстановка приведет нас к формуле Гаусса:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление