Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

536. Теорема умножения для функции Г.

10°. Опираясь на представление (25) для логарифмической производной, установим теперь следующую замечательную формулу, также принадлежащую Гауссу:

(u - любое натуральное число). Она выражает теорему умножения для функции Г.

Полагая в получим:

откуда, заменяя а на

и, суммируя от 0 до

Сопоставим это равенство со следующим:

Умножив последнее равенство на и и вычитая из предыдущего, найдем:

что можно написать в виде:

Отсюда, интегрируя, получим

или

Для определения постоянной С положим здесь Очевидно, где Е есть то произведение Эйлера, которое мы вычисляли

в 531, 6°. Подставляя его значение из (17), придем к формуле (26).

Частным случаем формулы Гаусса является ранее выведенная независимо формула Лежандра (20). Действительно, если в (26) взять , то получим формулу

которая равносильна (20).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление