Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

537. Некоторые разложения в ряды и произведения.

11°. Источником их является та же формула (25). Разложим подинтегральное выражение в ряд:

все члены которого имеют один и тот же знак. Почленное интегрирование дает:

Ряд этот сходится равномерно для ибо мажорируется рядом

Если его почленно продифференцировать по а, то получим замечательное по простоте разложение

Так как и этот ряд сходится равномерно для а (мажорируется рядом почленное дифференцирование оправдано.

12°. Проинтегрировав почленно ряд (27) по а от 1 до а (что законно, ввиду равномерной сходимости ряда), получим

Заменяя здесь а на (при перепишем разложение в виде

или

Отсюда, потенцируя, приходим к уже известной нам формуле Вейерштрасса [ср. 402 (16)], дающей разложение в бесконечное произведение:

13°. Возвращаясь к (29), положим здесь . Так как то получим:

Заметим попутно, что отсюда

и мы приходим к уже знакомому нам определению эйлеровой постоянной [367, 10)]. Наконец, умножая (31) на и вычитая почленно из (29), мы исключим С:

или, что то же

Отсюда, потенцируя, мы вновь находим формулу (7) Эйлера-Гаусса, выше установленную другим путем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление