Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

538. Примеры и дополнения.

1) Пользуясь тем, что

доказать, что (при )

и вывести отсюда формулу (7).

Указание. Предельное равенство устанавливается так же, как это было сделано в задачах 10) и 11) п° 519. Подстановкой преобразуем интеграл

и используем формулу (3).

2) Из формулы (23)

непосредственно вывести формулу (24)

Заметим, что трудность здесь в том, что нельзя интеграл (24) рассматривать как разность двух интегралов (иначе вопрос был бы исчерпан преобразованием второго подстановкой Поэтому, обходя ее, напишем:

так как

[Это видно из того, что интеграл оценивается выражением

3) Исходя из определения эйлеровой постоянной равенством

установить интегральные формулы

Так как

а

то

Предельный переход во втором интеграле проводится, как и в 1). Относительно преобразования (а) в (б) см. 2).

4) Полагая (при

Мы имели [534, 12) (a)]

Поэтому

Предельный переход при можно произвести под знаком интеграла, так как подинтегральное выражение, в промежутках [0,1] и порознь, стремится к своему пределу монотонно 518. Затем использовать формулу (24). При в частности, получается

5) Вычислить величину бесконечного произведения

где

[Так как

то сходящимся бесконечное произведение будет лишь при условии

в этом предположении и предлагается вычислить

Указание. Представив в виде

использовать формулу Вейерштрасса (30).

Ответ.

6) Предполагая вывести из 5) другой результат Эйлера:

Указание. Воспользоваться формулой

которая вытекает из (9) и (15).

7) Вернемся к формуле Гаусса:

которая в 534, 13) была установлена в предположении, что

Сейчас предлагается доказать ее другим путем, предполагая лишь положительными аргументы функции Г в правой части формулы и опустив ненужное условие

Укажем план доказательства. Обозначим, соответственно, через общие члены гипергеометрических рядов

Непосредственно проверяются соотношения

и доказывается, что . Складывая эти соотношения при изменении указателя от 1 до и переходя к пределу, получим:

откуда

Рассмотрим теперь выражение

предыдущее соотношение [в связи с (9)] показывает, что значение этого выражения не изменится при замене у на . Таким образом,

Перейдем здесь справа к пределу при — Из равномерной, относительно сходимости ряда следует [433], что его сумма стремится к 1. Таков же будет предел и множителя

так как он представляет собой остаточное произведение для сходящегося [в силу 5)] произведения

В таком случае выражение (32) оказывается равным 1, а это равносильно формуле Гаусса.

Из этой формулы теперь можно, при получить разложение

можно доказать и более общий результат, что сумма биномиальных коэффициентов, отвечающих показателю бинома, при равна

Раньше мы это сделать не могли из-за ограничения

8) Распространение на случай отрицательных а. По формуле (9),

так что значение определяется через значение Если то имеет смысл. Определим по предыдущей формуле; таким образом, определение функции (а) распространено и на случай - Вообще, если то, распространяя на этот случай формулу (10), определим равенством

Если для большей отчетливости положить здесь где то определение это перепишется так:

Отсюда сразу видно, что знак Г (а) для дается множителем При приближении а к или (т. е. при приближении а к 0 или к 1) Г (а) обращается в (первого порядка!).

9) Предлагается, основываясь на 8), обобщить на случай любых вещественных значений аргументов формулы (7), (9), (15), (20), (26), (30) (избегая лишь целых отрицательных и нулевого значений аргументов).

Указание. При распространении формулы [30] учесть равенство (33). Если воспользоваться распространением Г (а) на случай отрицательных а, то и формула Гаусса, о которой речь была в 7), окажется верной при единственном предположении: которое необходимо для сходимости самого ряда [378, 4].

10) Основываясь на формуле (34), доказать, что, при изменении а от 0 до однажды (скажем, при проходит через 0, меняя знак на При соответствующем значении функция Г (а) имеет, таким образом, положительный минимум (при четном) либо отрицательный максимум (при нечетном). См. график функции Г на черт. 64.

Предлагается доказать также, что (при возрастании как так и монотонно убывая, стремятся к 0.

Указание. Основанием для этих заключений служат равенства

и

11) Доказать, что при - функция Да) выражается интегралом

Указание. Применить интегрирование по частям; см. 8).

12) В главе XI [402, 10)], исходя из определения функции Да) формулой Эйлера-Гаусса (7), - и притом сразу для любых вещественных значений

аргумента (исключая нуль и целые отрицательные числа) - мы установили некоторые простейшие свойства этой функции [см. также 408]. То же можно сделать и по отношению к другим изученным свойствам.

Точно так же отправной точкой для изучения функции Г (а) при любых вещественных а (за теми же исключениями) может служить ряд

при дополнительных условиях .

13) Наконец, отметим, что функция может быть определена, как однозначная аналитическая функция, во всей плоскости комплексной переменной а Это может быть сделано, исходя из самого интегрального определения (6), если разбить

Тогда функция

естественно распространяется на всю плоскость комплексной переменной как мероморфная функция, с простыми полюсами в точках которым отвечают вычеты Функция же

имеет смысл и при комплексных значениях а и представляется целой функцией. Свойства функции доказанные для положительных вещественных значений аргумента, автоматически распространяются на всю плоскость, по известной теореме об аналитических функциях (мы имеем в виду свойства, выражаемые равенствами между аналитическими функциями). В частности, из формулы дополнения (15), которую можно написать так:

явствует, что голоморфна во всей плоскости. Таким образом, не имеет корней.

В заключение упомянем, что как формула Эйлера-Гаусса (7), так и формула Вейерштрасса (30) с успехом могут быть положены в основу определения функций сразу во всей плоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление