Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Эллиптические интегралы

290. Общие замечания и определения.

Рассмотрим интеграл вида

где у есть алгебраическая функция от х, т. е. [205] удовлетворяет алгебраическому уравнению

(здесь Р - целый относительно многочлен). Подобного рода интегралы получили название абелевых интегралов. К их числу относятся интегралы, изученные в § 3,

Действительно, функции

удовлетворяют, соответственно, алгебраическим уравнениям

Становясь на геометрическую точку зрения, абелев интеграл (1) считают связанным с той алгебраической кривой, которая определяется уравнением (2). Например, интеграл

связан с кривой второго порядка .

Если кривая (2) может быть представлена параметрически

так, что функции оказываются рациональными (в этом случае кривая называется уникурсальной, то в интеграле (1) становится возможной рационализация подинтегралъного выражения: подстановкой оно приводится к виду

К этому классу и относятся оба упомянутые вьппе случая. В частности, возможность рационализации подинтегралъного выражения в интеграле типа (3) связана именно с тем фактом, что кривая второго порядка уникурсальна [281, 282].

Очевидно, что переменные связаны алгебраическим уравнением, так что является алгебраической функцией от х. Если расширить класс элементарных функций, включив в него и все алгебраические функции, то можно сказать, что в случае уникурсальности кривой (2), интеграл (1) всегда выражается через элементарные функции в конечном виде.

Однако подобное обстоятельство является в некотором смысле исключением. В общем случае кривая (2) не уникурсальна, а тогда, как можно доказать, интеграл (1) заведомо не всегда, т. е. не при всякой функции может быть выражен в конечном виде (хотя не исключена возможность этого при отдельных конкретных

С этим мы сталкиваемся уже при рассмотрении важного класса интегралов

содержащих квадратный корень из многочленов 3-й или 4-й степени и естественно примыкающих к интегралам (3). Интегралы вида (4) - как правило - уже не выражаются в конечном виде через элементарные функции даже при расширенном понимании этого термина. Поэтому знакомство с ними мы отнесли к заключительному параграфу, чтобы не прерывать основной линии изложения настоящей

главы, посвященной, главным образом, изучению классов интегралов, берущихся в конечном виде.

Многочлены под корнем в (4) предполагаются имеющими вещественные коэффициенты. Кроме того, мы всегда будем считать, что у них нет кратных корней, ибо иначе можно было бы вынести линейный множитель из-под знака корня; вопрос свелся бы к интегрированию выражений уже ранее изученных типов, и интеграл выразился бы в конечном виде. Последнее обстоятельство может иметь место иной раз и при отсутствии кратных корней; например, легко проверить, что

Интегралы от выражений типа (4) вообще называют эллиптическими [в связи с тем обстоятельством, что впервые с ними столкнулись при решении задачи о спрямлении эллипса, 331, 8)]. Впрочем это название, в точном смысле, относят обычно лишь к тем из них, которые не берутся в конечном виде; другие же, вроде только что приведенных, называют псевдоэллиптическими.

Изучение и табулирование (т. е. составление таблиц значений) интегралов от выражений (4) при произвольных коэффициентах разумеется, затруднительно. Поэтому естественно желание свести все эти интегралы к немногим таким, в состав которых входило бы по возможности меньше произвольных коэффициентов (параметров).

Это достигается с помощью элементарных преобразований, которые мы рассмотрим в последующих

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление