Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

291. Вспомогательные преобразования.

1°. Заметим, прежде всего, что достаточно ограничиться случаем многочлена 4-й степени под корнем, ибо к нему легко приводится и случай, когда под корнем многочлен 3-й степени. Действительно, многочлен 3-й степени с вещественными коэффициентами необходимо имеет вещественный корень [81], скажем, - и, следовательно, допускает вещественное разложение

Подстановка и осуществляет требуемое приведение

Впредь мы станем рассматривать лишь дифференциалы, содержащие корень из многочлена 4-й степени.

2°. По известной теореме алгебры, многочлен четвертой степени с вещественными коэффициентами может быть представлен в виде произведения двух квадратных трехчленов с вещественными же коэффициентами:

Постараемся теперь надлежащей подстановкой уничтожить в обоих трехчленах сразу члены первой степени. Мы имели уже дело с подобной же задачей в 284, III (б).

Если , то наша цель достигается, как указывалось, простой подстановкой . Пусть теперь в этом случае мы воспользуемся, как и выше, дробно-линейной подстановкой

Возможность установить вещественные и притом различные значения для коэффициентов и как мы видели, обусловлена неравенством

Мы уже доказали это неравенство в предположении, что один из рассматриваемых трехчленов имеет мнимые корни, и это играло существенную роль в наших рассуждениях. Пусть же теперь трехчлены (5) оба имеют вещественные корни, скажем, первый - корни а и а второй - корни у и 8. Подставляя

можно переписать (6) в виде

а для осуществления этого неравенства достаточно лишь позаботиться, чтобы корни трехчленов не перемежались (например, чтобы было что в нашей власти.

Таким образом, надлежаще выбрав и с помощью указанной подстановки мы получим

что можно также (если исключить случаи вырождения, когда какой-либо из коэффициентов оказывается нулем) переписать в виде

при отличных от нуля.

3°. С помощью соображений, совершенно аналогичных тем, которые были применены в начале п° 284, можно свести этот интеграл, с точностью до интеграла от рациональной функции, к такому:

Разложим теперь рациональную функцию на два слагаемых

Первое не меняет своего значения при замене на следовательно сводится к рациональной функции от второе же при указан ной замене меняет знак, а потому имеет вид . Рассматриваемый интеграл представится в форме суммы интегралов

Но второй из них подстановкой сразу приводится к элементарному интегралу

и берется в конечном виде. Таким образом, дальнейшему исследованию подлежит лишь интеграл

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление