Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода.

Теперь остается изучить простейшие из интегралов вида (8), к которым могли бы быть сведены все интегралы этого вида, а следовательно, в конечном счете, и все вообще эллиптические интегралы.

Выделим из рациональной функции фигурирующей в подинтегральном выражении (8), целую часть а правильно-дробную ее часть разложим на простые дроби. Если не объединять сопряженные комплексные корни знаменателя (как мы это делали в 274), а рассматривать их порознь, подобно вещественным корням, то представится в виде суммы степеней и дробей вида где а может быть и мнимым числом, умноженных на числовые коэффициенты. Отсюда ясно, что интеграл (8), в общем случае, является линейным агрегатом следующих интегралов:

Остановимся на интегралах Если проинтегрировать (легко проверяемое) тождество

то получится рекуррентное соотношение

связьшающее три последовательных интеграла Полагая здесь выразим через и ; если взять и вместо подставить его выражение через то и выразится через эти интегралы. Продолжая так дальше, легко убедиться, что каждый из интегралов выражается через и даже, учитывая (9), можно установить и вид связывающей их формулы

где - постоянные, есть нечетный многочлен степени Отсюда ясно, что если есть многочлен степени от х, то

где - постоянные, есть некоторый многочлен степени от х. Определение этих постоянных и коэффициентов многочлена может быть произведено (если многочлен Р конкретно задан по методу неопределенных коэффициентов [ср. 284, I]).

Заметим, что из (9) можно было бы выразить через и интегралы и при отрицательных значениях так что в интегралах достаточно ограничиться случаем

Переходя к интегралам (скажем, при вещественных а), подобным же образом установим для них рекуррентное соотношение

справедливое и при отрицательных и нулевом значениях т. Отсюда все выразятся через три из них:

т. е. окончательно через и

Подчеркнем, что все это сохраняет силу и при мнимых значениях параметра а; однако мы не станем входить здесь в разъяснения по этому поводу, отсылая читателя к § 5 главы XII.

Итак, в результате всех наших рассуждений мы приходим к такому общему заключению: все эллиптические интегралы с помощью элементарных подстановок — и с точностью до слагаемых, выражающихся в конечном виде, - приводятся к следующим трем стандартным интегралам:

(последний получается из введением, взамен 0, нового параметра Эти интегралы, как показал Лиувилль (J. Liouville), в конечном виде уже не берутся. Их Лежандр назвал эллиптическими интегралами, соответственно, рода. Первые два содержат лишь один параметр к, а последний, кроме него, еще (комплексный) параметр

Лежандр внес в эти интегралы еще дальнейшие упрощения, выполнив в них подстановку изменяется от 0 до При этом первый из них непосредственно переходит в интеграл

Второй преобразуется так:

т. е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу

Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в

Интегралы (11), (12) и (13) также называются эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода - в форме Лежандра,

Из них особую важность и частое применение имеют первые два. Если считать, что эти интегралы при обращаются в нуль, и тем фиксировать содержащиеся в них произвольные постоянные, то получатся две вполне определенные функции от которые Лежандр обозначил соответственно через . Здесь, кроме независимой переменной , указан также параметр к, называемый модулем, который входит в выражения этих функций.

Лежандром были составлены обширные таблицы значений этих функций при различных и различных к. В них не только аргумент , трактуемый как угол, выражается в градусах, но и модуль к (правильная дробь!) рассматривается как синус некоторого угла в, который и указывается в таблице вместо модуля, и притом также в градусах.

Кроме того, как Лежандром, так и другими учеными были изучены глубочайшие свойства этих функций, установлен ряд относящихся к ним формул и т. д. Благодаря этому функции и Е Лежандра вошли в семью функций, встречающихся в анализе и его приложениях, на равных правах с элементарными функциями.

Низшая часть интегрального исчисления, которой в основном мы вынуждены пока ограничиться, занимается «интегрированием в конечном виде». Однако было бы ошибочно думать, что этим ограничиваются задачи интегрального исчисления вообще: эллиптические интегралы и Е являются примерами таких функций, которые плодотворно изучаются по их интегральным выражениям и с успехом применяются, хотя и не могут быть представлены через элементарные функции в конечном виде.

Мы еще вернемся к интегралам и Е в следующей главе и вообще не раз будем с ними встречаться в дальнейших частях курса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление