Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла

294. Другой подход к задаче о площади.

Вернемся к задаче об определении площади Р криволинейной трапеции (рис. 4), которой мы уже занимались в 264. Мы изложим сейчас другой подход к решению этой задачи.

Рис. 4.

Разделим основание нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, соответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок (см. рисунок).

Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.

Обозначим абсциссы точек деления через

Основание прямоугольника очевидно, равно разности которую мы будем обозначать через Что же касается высоты, то, по сказанному, она равна Поэтому площадь прямоугольника будет

Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади Р криволинейной трапеции

Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех стремится к нулю. Точное значение площади Р получится как предел:

в предположении, что все длины одновременно стремятся к 0.

Тот же прием применим и к вычислению площади фигуры (рис. 2), лишь дробить на части пришлось бы отрезок Заметим еще, что случай, когда принимает и отрицательные значения, исчерпывается заключенным в 264 условием считать площади частей фигуры под осью х отрицательными.

Для обозначения суммы вида (вернее сказать - предельного значения этой суммы) Лейбниц и ввел символ где напоминает типичное слагаемое суммы, есть стилизованная буква - начальная буква латинского слова «Summa». Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ сохранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать

если речь идет о переменной площади, и

- в случае площади фиксированной фигуры отвечающей изменению х от а до

Мы воспользовались интуитивным представлением о площади, чтобы естественно подойти к рассмотрению пределов своеобразных сумм вида (2) (которые исторически и были введены в связи с задачей о вычислении площади). Однако самое понятие площади нуждается в обосновании, и - если речь идет о криволинейной трапеции - оно достигается именно с помощью упомянутых пределов. Разумеется, этому должно быть предпослано изучение пределов (2)

самих по себе, отвлекаясь от геометрических соображений, чему и посвящена настоящая глава.

Пределы вида (2) играют исключительно важную роль в математическом анализе и в разнообразных его приложениях. К тому же в различных видоизменениях развиваемые здесь идеи будут неоднократно повторяться на всем протяжении курса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление