Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

295. Определение.

Пусть функция задана в некотором промежутке Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между а и точки деления (1). Наибольшую из разностей будем впредь обозначать через .

Возьмем в каждом из частичных промежутков по произволу точку

и составим сумму

Говорят, что сумма а при имеет (конечный) предел I, если для каждого числа найдется такое число что, лишь только (т. е. основной промежуток разбит на части, с длинами неравенство

выполняется при любом выборе чисел

Записывают это так:

Этому определению «на языке как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем - вторым, третьим и т. д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений сходится к нулю.

Равенство (3) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы о, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом

Доказательство равносильности обоих определений может быть проведено в том же порядке идей, что и в 53. Второе определение

позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый вид предела.

Конечный предел 1 суммы о при называется определенным интегралом функции в промежутке от а до и обозначается символом

в случае существования такого предела функция называется интегрируемой в промежутке

Числа носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

Приведенное определение принадлежит Риману (В. Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. И самую сумму а иногда называют римановой суммой; мы же будем предпочтительно называть ее интегральной суммой, чтобы подчеркнуть ее связь с интегралом.

Поставим теперь себе задачей - выяснить условия, при которых интегральная сумма а имеет конечный предел, т. е. существует определенный интеграл (4).

Прежде всего заметим, что высказанное определение в действительности может быть приложено лишь к ограниченной функции. В самом деле, если бы функция была в промежутке неограничена, то - при любом разбиении промежутка на части - она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки можно было бы сделать , а с ней и сумму а, - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для а, очевидно, существовать не могло бы. Итак, интегрируемая функция необходимо ограничена.

Поэтому в дальнейшем исследовании мы будем наперед предполагать рассматриваемую функцию ограниченной

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление