Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

296. Суммы Дарбу.

В качестве вспомогательного средства исследования, наряду с интегральными суммами, введем в рассмотрение, по примеру Дарбу, еще другие, сходные с ними, но более простые суммы.

Обозначим через соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции промежутке и составим суммы

Эти суммы и носят название, соответственно, нижней и верхней интегральных сумм, или сумм Дарбу.

В частном случае, когда непрерывна, они являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих взятому разбиению, так как в этом случае функция в каждом промежутке достигает своих точных границ, и точки , можно выбрать так, чтобы — по желанию - было

Переходя к общему случаю, из самого определения нижней и верхней границ имеем

Умножив члены обоих этих неравенств на положительно) и просуммировав по получим

При фиксированном разбиении суммы будут постоянными числами, в то время как сумма а еще остается переменной ввиду произвольности чисел Но легко видеть, что за счет выбора , можно значения сделать сколь угодно близкими как к так и к а значит - сумму а сделать сколь угодно близкой к s или к . А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему уже общему замечанию: при данном разбиении промежутка суммы Дарбу s и служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.

Суммы Дарбу обладают следующими простыми свойствами:

1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшиться.

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления еще одной точки деления х.

Пусть эта точка попадет между точками так что

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме промежутку отвечало слагаемое

а в новой сумме этому промежутку отвечает сумма двух слагаемых

где суть точные верхние границы функции в промежутках . Так как эти промежутки являются частями промежутка , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим

Отсюда и следует, что Для нижней суммы доказательство аналогично этому.

Замечание. Так как разности очевидно, не превосходят колебания функции во всем промежутке то разность не может превзойти произведения Это остается справедливым и в том случае, если в промежутке взято несколько новых точек деления.

2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому разбиению промежутка.

Доказательство. Разобьем промежуток произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение промежутка Ему также будут отвечать его суммы Дарбу

Требуется доказать, что С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы

Третье разбиение мы получили из первого добавлением новых точек деления; поэтому, на основании доказанного свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно гак же заключаем, что

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает

что и требовалось доказать.

Из доказанного следует, что все множество нижних сумм ограничено сверху, например, любой верхней суммой . В таком случае [11] это множество имеет конечную точную верхнюю границу

и, кроме того,

какова бы ни была верхняя сумма Так как множество верхних сумм, таким образом, оказывается ограниченным снизу числом то оно имеет конечную точную нижнюю границу

причем, очевидно,

Сопоставляя все сказанное, имеем

для любых нижней и верхней сумм Дарбу.

Числа называют, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу [ср. ниже 301].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление