Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

297. Условие существования интеграла.

С помощью сумм Дарбу теперь легко сформулировать это условие.

Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было

Сказанное в 295 достаточно для уяснения смысла этого предела. Например, «на языке условие (6) означает, что для любого найдется такое что лишь только (т. е. промежуток разбит на части с длинами тотчас выполняется неравенство

Доказательство. Необходимость. Предположим, что существует интеграл (4). Тогда но любому заданному найдется такое что лишь только все тотчас

как бы мы ни выбирали в пределах соответствующих промежутков. Но суммы s и при заданном разбиении промежутка, являются,

как мы установили, для интегральных сумм, соответственно, точным и нижней и верхней границами; поэтому для них будем иметь

так что

откуда и следует (6).

Достаточность. Предположим, что условие (6) выполнено; тогда из (5) сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через

Если под а разуметь одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению промежутка, что и суммы , то, как мы знаем,

Согласно условию (6), если предположить все достаточно малыми, суммы разнятся меньше, чем на произвольно взятое Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел а та Г.

так что I является пределом для а, т. е. определенным интегралом.

Если обозначить колебание функции в частичном промежутке через то будем иметь

и условие существования определенного интеграла может быть переписано так:

В этой форме оно обычно и применяется.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление