Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

298. Классы интегрируемых функций.

Применим найденный нами признак к установлению некоторых классов интегрируемых функций.

I. Если функция непрерывна в промежутке то она интегрируема.

Доказательство. Раз функция непрерывна, то на основании следствия из теоремы Кантора [87] по заданному всегда найдется такое что лишь только промежуток разбит на части с длинами то все со; Отсюда

Так как есть постоянное число, а произвольно мало, то условие (8) выполняется, а из него и вытекает существование интеграла. Можно несколько обобщить доказанное утверждение.

II. Если ограниченная функция имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема.

Доказательство. Пусть точки разрыва будут Возьмем произвольное Окружим точки разрыва окрестностями

таким образом, чтобы длина каждой была меньше . В оставшихся (замкнутых) промежутках функция будет непрерывной, и мы можем применить к каждому из них в отдельности следствие из теоремы Кантора. Из полученных по чисел выберем наименьшее (его мы также будем обозначать буквой ). Тогда оно будет годиться для каждого из указанных выше промежутков. Ничто нам не мешает взять при этом Разобьем теперь наш промежуток на части так, чтобы их длины все были меньше . Полученные частичные промежутки будут двух родов:

1) Промежутки, лежащие целиком вне выделенных окрестностей около точек разрыва. В них колебание функции

2) Промежутки, либо заключенные целиком внутри выделенных окрестностей, либо частью на эти окрестности налегающие.

Так как функция предположена ограниченной, то колебание ее во всем промежутке будет конечно; колебание же в любом частичном промежутке не превосходит

Сумму

разобьем на две:

распространенные, соответственно, на промежутки первого и второго рода.

Для первой суммы, как и в предыдущей теореме, будем иметь

Что касается второй суммы, то заметим, что длины промежутков второго рода, целиком попавших внутрь выделенных окрестностей, в сумме промежутков же, лишь частично налегающих на них, может быть не больше и сумма их длин а значит и подавно . Следовательно,

Таким образом, окончательно, при имеем

Это и доказывает наше утверждение, так как в квадратных скобках содержится постоянное число, а произвольно мало.

Наконец, укажем еще один простой класс интегрируемых функций, не покрывающийся предыдущим.

III. Монотонная ограниченная функция всегда интегрируема. Доказательство. Пусть - монотонно возрастающая функция. Тогда ее колебание в промежутке будет

Зададимся любым и положим

Как только тотчас будем иметь

откуда и следует интегрируемость функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление