Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

299. Свойства интегрируемых функций.

Из признака п° 297 можно вывести и ряд общих свойств интегрируемых функций.

I. Если функция интегрируема в промежутке то и функции (где интегрируемы в этом промежутке.

Доказательство проведем для функции Так как для любых двух точек промежутка имеем [17]

то и колебание функции в этом промежутке не превосходит Отсюда

так как последняя сумма стремится к нулю (при то первая и подавно, что влечет интегрируемость функции

II. Если две функции интегрируемы в промежутке то их сумма, разность и произведение также интегрируемы.

Доказательство ограничим случаем произведения Пусть Взяв в промежутке любые две точки рассмотрим разность

Очевидно,

если через , - обозначить, соответственно, колебания функций в промежутке Но тогда [85] и для колебания функции в этом промежутке будем иметь

откуда

Так как две последние суммы стремятся к нулю (при то первая и подавно, что и доказывает интегрируемость функции

III. Если функция интегрируема в промежутке то она интегрируема и в любой части этого промежутка. Наоборот, если промежуток разложен на части, и в каждой части в отдельности функция интегрируема, то она интегрируема и во всем промежутке

Доказательство. Предположим, что функция интегрируема в промежутке и построим для этого промежутка сумму (считая, что а и входят в состав точек деления). Аналогичная сумма для промежутка получится отсюда, если опустить ряд (положительных) слагаемых; она наверно стремится к нулю, если стремится к нулю первая сумма.

Пусть теперь промежуток разложен, скажем, на две части (где и в каждой из них функция интегрируема. Возьмем снова сумму для промежутка если точка с оказалась в числе точек деления, то названная сумма составится из двух подобных же сумм для промежутков и вместе с ними стремится к нулю. Заключение это остается в силе и для случая, когда с не является точкой деления: присоединив эту точку, мы изменим лишь один член суммы, который сам, очевидно, стремится к нулю.

IV. Если изменить значения интегрируемой функции в конечном числе точек, то интегрируемость ее не нарушится.

Доказательство очевидно, ибо упомянутые изменения коснутся не более чем к членов суммы

Легко понять, что и значение самого интеграла при этом не потерпит изменения. Это вытекает из того, что для обеих функций - исходной и измененной - точки в интегральной сумме всегда можно выбирать так, чтобы они не совпадали с теми точками, для которых значения их разнятся.

Замечание. Благодаря этому свойству мы получаем возможность говорить об интеграле даже тогда, когда функция

не определена в конечном числе точек промежутка При этом можно приписать в этих точках нашей функции совершенно произвольные значения и рассматривать интеграл от функции, определенной таким образом во всем промежутке. Как мы видели, ни существование этого интеграла, ни величина его не зависят от значений, приписанных функции в точках, где она не была определена.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление