Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

301. Нижний и верхний интегралы как пределы.

В заключение мы вернемся к нижнему и верхнему интегралам, которые в п° 296 были определены как точные границы сумм Дарбу s и . Мы покажем теперь, что вместе с тем они являются и пределами названных сумм.

Теорема Дарбу. Какова бы ни была ограниченная функция для нее всегда

Доказательство проведем, например, для верхних сумм.

Прежде всего, по наперед заданному возьмем такое разбиение промежутка что для отвечающей ему верхней суммы будет

но возможно, так как 1 служит точной нижней границей для множества верхних сумм. Пусть это разбиение содержит (внутренних) точек деления. Положим теперь

означает колебание функции во всем промежутке и рассмотрим произвольное разбиение промежутка, для которого все пусть ему отвечает сумма

Для того чтобы оценить разность между и введем еще третье разбиение нашего промежутка, объединив точки деления первых двух разбиений. Если соответствующая ему верхняя сумма есть то, по свойству сумм Дарбу [296], так что и подавно [см. (9)]

С другой же стороны, по замечанию п° 296 разность не превосходит произведения на сумму длин тех промежутков второго разбиения, внутрь которых попали точки деления первого разбиения. Но число таких промежутков не больше , а длина каждого из них меньше 8, так что

откуда, в связи с (10),

Так как, с другой стороны, то, лишь только

так что, действительно,

Из доказанной теоремы непосредственно следует, что всегда

Это соотношение позволяет высказать критерий существования интеграла в следующей форме [ср. 297]:

Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы нижний и верхний интегралы Дарбу были между собой равны

При выполнении его, очевидно, их общее значение и дает величину определенного интеграла.

Новая форма условия имеет некоторое преимущество перед прежней. Для того чтобы убедиться в равенстве интегралов Дарбу, достаточно установить, что неравенству

при произвольном удовлетворяет хоть одна пара сумм у и Действительно, в силу (5), тогда будет также

откуда, ввиду произвольности и вытекает требуемое равенство.

Легко сообразить, как в соответствии с этим может быть облегчено и условие интегрируемости, высказанное в предыдущем п° [см. 3)].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление