Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

266. Простейшие правила интегрирования.

I. Если а — постоянная то

Действительно, дифференцируя выражение справа, мы получим [105,1]

так что это выражение является первообразной для дифференциала , ч. и тр. д. Итак, постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла.

Дифференцируем выражение справа [105, II]:

таким образом, это выражение является первообразной функцией для последнего дифференциала, ч. и тр. д. Неопределенный интеграл от суммы (разности) дифференциалов равен сумме (разности) интегралов от каждого дифференциала в отдельности.

Замечание. По поводу этих двух формул заметим следующее. В них входят неопределенные интегралы, содержащие каждый произвольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа понимаются в том смысле, что разность между правой и левой частями его есть постоянная. Можно понимать эти равенства и буквально, но тогда один из фигурирующих в них интегралов перестает быть произвольной первообразной: постоянная в нем устанавливается после выбора постоянных в других интегралах. Это важное замечание следует иметь в виду и впредь.

то

Действительно, данное соотношение равносильно следующему:

Но тогда

так что

действительно оказывается первообразной для функции

Особенно часто встречаются случаи, когда или

[На деле правило III есть весьма частный случай правила замены переменной в неопределенном интеграле, о чем будет речь ниже, 268.]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление