Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Свойства определенных интегралов

302. Интеграл по ориентированному промежутку.

До сих пор, говоря об «определенном интеграле в промежутке от а до мы всегда подразумевали, что а Устраним теперь это стеснительное ограничение.

С этой целью мы, прежде всего, устраним понятие направленного или ориентированного промежутка. Под ориентированным промежутком (где может быть и мы будем разуметь множество значений х, удовлетворяющих неравенствам, соответственно,

и расположенных или упорядоченных от а к , т. е. в порядке возрастания, если или убывания, если Таким образом, мы различаем промежутки совпадая по своему составу (как числовые множества), они разнятся по направлению.

То определение интеграла, которое было дано в 295, относится к ориентированному промежутку но лишь для случая, когда

Обратимся к определению интеграла в ориентированном промежутке в предположении, что . Можно повторить для этого случая обычный процесс дробления промежутка путем вставления точек деления, идущих в направлении от а к :

Выбрав в каждом частичном промежутке по точке так что составим интегральную сумму

где - на этот раз - все . Наконец, предел этой суммы при и приведет нас к понятию интеграла

Если для промежутков (где ) взять те же точки деления и те же точки то отвечающие им интегральные суммы будут разниться лишь знаками. Отсюда, переходя к пределам, получаем такое предложение:

1°. Если интегрируема в промежутке , то она интегрируема и в промежутке причем

Впрочем, можно было бы именно это равенство принять за определение интеграла при а в предположении, что интеграл существует.

Заметим еще, что по определению же полагают

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление