Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

303. Свойства, выражаемые равенствами.

Перечислим дальнейшие свойства определенных интегралов, выражаемые равенствами.

2°. Пусть интегрируема в наибольшем из промежутков Тогда она интегрируема в двух других, и имеет место равенство

каково бы ни было взаимное расположение точек а, b и с.

Доказательство. Положим сначала, что и функция интегрируема в промежутке

То, что функция интегрируема в промежутках следует из 299, III.

Рассмотрим разбиение промежутка на части, причем точку с будем считать одной из точек деления. Составив интегральную сумму, будем иметь (смысл обозначений ясен)

Переходя к пределу при мы и получим требуемое равенство.

Другие случаи расположения точек с приводятся к этому. Пусть, например, и функция интегрируема в промежутке или - что то же ввиду 1° - в промежутке . В этом случае, по доказанному, будем иметь

откуда, перенося первый и второй интегралы из одной части равенства в другую и переставив пределы (на основании свойства 1°), придем опять к прежнему соотношению.

3°. Если интегрируема в промежутке то и также интегрируема в этом промежутке, причем

4°. Если - обе интегрируемы в промежутке то и также интегрируема в этом промежутке, причем

В обоих случаях доказательство строится аналогично, исходя из интегральных сумм и переходя к пределу. Проведем его, например, для последнего утверждения.

Разобьем промежуток произвольно на части и составим интегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех сумм одни и те же; тогда будем иметь

Пусть теперь так как для обеих сумм справа пределы существуют, то существует предел и для суммы слева, чем устанавливается интегрируемость функции Переходя в предыдущем равенстве к пределам, приходим к требуемому соотношению.

Замечание. Обращаем внимание на то, что при доказательстве двух последних утверждений не было надобности опираться на предложения 299, I и II: интегрируемость функций устанавливается непосредственно переходом к пределу.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление