Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

304. Свойства, выражаемые неравенствами.

До сих пор мы рассматривали свойства интегралов, выражаемые равенствами; перейдем теперь к таким, которые выражаются неравенствами.

5°. Если функция интегрируемая в промежутке неотрицательна и то

Доказательство очевидно.

Труднее доказать более точный результат:

Если функция интегрируемая в промежутке положительна и , то

Доказательство проведем от противного. Допустим, что

Тогда при и верхняя сумма Дарбу также стремится к нулю [297 (7)]. Взяв произвольное можем сделать эту сумму меньшей чем . При этом хотя бы одна из верхних границ окажется меньшей иными словами, найдется в такая часть в пределах которой все значения

Так как и

то, аналогично, из выделится часть в пределах которой где - любое положительное число

Взяв последовательность положительных чисел можно определить такую последовательность вложенных один в другой (и - если угодно - убывающих по длине до 0) промежутков , что

Тогда по лемме п° 38 существует точка с, общая всем этим промежуткам; для нее должно быть

что невозможно, ибо . Теорема доказана.

Простым следствием отсюда (и из 4°) является 6°. Если две функции интегрируемы в промежутке и всегда то и

в предположении, что

Нужно лишь применить предыдущее свойство к разности . Так же легко получается:

7°. Пусть функция интегрируема в промежутке тогда имеем неравенство

Существование последнего интеграла следует из 299, I. Свойство 6° применяем затем к функциям

Впрочем неравенство легко получить и непосредственно, исходя из интегральных сумм

и переходя к пределам.

8°. Если интегрируема в где и если во всем этом промежутке имеет место неравенство

то

Можно применить свойство 6° к функциям и М, но проще непосредственно воспользоваться очевидными неравенствами

и перейти к пределу.

Доказанным соотношениям можно придать более удобную форму равенства, освобождаясь в то же время от ограничения

9°. Теорема о среднем значении. Пусть интегрируема в и пусть во всем этом промежутке тогда

где

Доказательство. Если то по свойству 8° будем иметь

откуда

Положив

получаем требуемое равенство.

Для случая, когда проводим рассуждение для а затем, переставив пределы, приходим к прежней формуле.

Только что доказанное равенство принимает особенно простой вид, когда функция непрерывна. Действительно, если считать, что и М суть наибольшее и наименьшее значения функции, существующие по теореме Вейерштрасса, 85, то и промежуточное значение по теореме Больцано-Коши, 82, должно приниматься функцией в некоторой точке с промежутка Таким образом,

где с содержится в

Рис. 5.

Геометрический смысл последней формулы ясен. Пусть Рассмотрим криволинейную фигуру (рис. 5) под кривой Тогда площадь криволинейной фигуры (выражаемая определенным

интегралом) равна площади прямоугольника с тем же основанием и с некоторой средней ординатой в качестве высоты.

10°. Обобщенная теорема о среднем значении. Пусть интегрируемы в промежутке во всем промежутке не меняет знака: Тогда

где

Доказательство. Пусть сначала тогда имеем

Из этого неравенства, на основании свойств 6° и 3°, получаем

Ввиду предположения о функции по 5°, имеем

Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств ясно, что одновременно также

и утверждение теоремы становится очевидным. Если же интеграл больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше двойного неравенства, положим

и придем к требуемому результату.

От случая легко перейти к случаю а равно как от предположения к предположению перестановка пределов или изменение знака не нарушат равенства.

Если непрерывна, то эта формула может быть записана следующим образом:

где с содержится в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление