Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

305. Определенный интеграл как функция верхнего предела.

Если функция интегрируема в промежутке то [299, III] она интегрируема и в промежутке где х есть любое значение из Заменив предел определенного интеграла переменной х, получим выражение

которое, очевидно, является функцией от х. Эта функция обладает следующими свойствами:

11°. Если функция интегрируема в то будет непрерывной функцией от х в том же промежутке.

Доказательство. Придав х произвольное приращение (с тем лишь, чтобы не выходило за пределы рассматриваемого промежутка), получим новое значение функции (1)

[см.

Применим к этому интегралу теорему о среднем значении 9°

здесь содержится между точными границами и М функции в промежутке , а следовательно, и подавно между (постоянными) границами ее и М в основном промежутке

Если устремить теперь к нулю, то, очевидно,

что и доказывает непрерывность функции

12°. Если функцию предположить непрерывной в точке то в этой точке функция имеет производную, равную

Доказательство. Действительно, из (2) имеем

Но, ввиду непрерывности функции при по любому найдется такое что при

для всех значений в промежутке . В таком случае имеют место и неравенства

так что

Теперь ясно, что

что и требовалось доказать.

Мы пришли к заключению, имеющему огромное принципиальное и прикладное значение. Если предположить функцию непрерывной во всем промежутке то она интегрируема [298, I], и предыдущее утверждение оказывается приложимым к любой точке х этого промежутка: производная от интеграла (1) по переменному верхнему пределу х везде равна значению подинтегральной функции на этом пределе.

Иными словами, для непрерывной в промежутке функции всегда существует первообразная; примером ее является определенный интеграл (1) с переменным верхним пределом.

Таким образом, мы, наконец, установили то предложение, о котором упоминали еще в 264.

В частности, мы теперь можем записать функции и Е Лежандра [293] в виде определенных интегралов

По доказанному только что, это будут первообразные функции, соответственно, для функций

и притом обращающиеся в 0 при

Замечание. Утверждения, доказанные в настоящем п°, легко распространяются на случай интеграла с переменным нижним пределом, так как (1°)

Производная от этого интеграла по х, очевидно, равна - (если х есть точка непрерывности).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление