Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

306. Вторая теорема о среднем значении.

В заключение установим еще одну теорему, относящуюся к интегралу от произведения двух функций

Ее представляют в разных формах. Начнем с доказательства следующего предложения:

13°. Если в промежутке монотонно убывает (хотя бы в широком смысле) и неотрицательна, интегрируема, то

где I есть некоторое значение из названного промежутка.

Разбив промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления , представим интеграл 1 в виде

Если через обозначить верхнюю границу для функции а через , (как обычно) колебание функции промежутке

длины то, очевидно,

Отсюда ввиду интегрируемости функции [298, 111] ясно, что при так что

Введем теперь функцию

и с ее помощью перепишем сумму а так:

или, наконец, раскрывая скобки и иначе группируя слагаемые,

Непрерывная функция при изменении х в промежутке имеет как наименьшее значение так и наибольшее значение М [85]. Так как все множители

в силу сделанных относительно функции предположений, неотрицательны, то, заменяя значения соответственно через и М, мы получим два числа:

между которыми содержится сумма а. Между теми же числами, очевидно, содержится и интеграл I как предел этой суммы, или иначе

где Но, по непрерывности функции в промежутке найдется такое значение I, что Тогда

что равносильно формуле (3).

Аналогично, если функция оставаясь неотрицательной, монотонно возрастает, то имеет место формула

где Эти формулы обычно называют формулами Бонне (О. Bonnet). Наконец,

14°. Если сохранить только предположение о монотонности функции не требуя ее неотрицательности, то можно утверждать:

Действительно, пусть, например, функция монотонно убывает; тогда, очевидно, разность и стоит только к этой функции применить формулу (3), чтобы после легких преобразований получить (4).

Доказанная теорема и носит название второй теоремы о среднем значении [ср. 304, 10°].

Следующее простое замечание позволяет придать ей несколько более общую форму. Если изменить значения функции в точках а и взяв вместо них любые числа А и В под условием лишь

то не только значение интеграла I не изменится, но и сохранится монотонность функции так что по образцу (4) можно утверждать

В частности,

Здесь, как и выше, I означает некоторое число из промежутка но оно, вообще говоря, зависит от выбора чисел А и В.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление