Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов

307. Вычисление с помощью интегральных сумм.

Приведем ряд примеров вычисления определенного интеграла, непосредственно как предела интегральных сумм - в согласии с его определением. Зная наперед, что интеграл для непрерывной функции существует, для вычисления его мы можем выбирать разбиение промежутка и точки I, руководствуясь исключительно соображениями удобства.

1) - произвольные вещественные числа, а k - натуральное число).

Сначала вычислим интеграл (а и 0). Промежуток [0, а] разобьем на равных частей, а в каждом частичном промежутке функцию вычислим для его правого конца, если и для левого - при 0. Тогда интегральная сумма

и, если учесть пример 14) п° 33,

Отсюда уже нетрудно получить и общую формулу

2) ( - произвольное вещественное число).

На этот раз мы разобьем промежуток на неравные части, а именно между а и вставим средних геометрических. Иными словами, положив

рассмотрим ряд чисел

Заметим, что при отношение разности же все меньше величины .

Вычисляя функцию для левых концов, имеем

Предположим теперь тогда

и, используя уже известный предел [пример 5), (в), 77], получим

В случае будет

и на основании другого известного результата [там же,

Разделив промежуток на равных частей, положим функцию вычислим для правых концов, если и для левых при Тогда

Найдем сжатое выражение для суммы справа. Умножив и разделив ее на а затем представляя все слагаемые в виде разности косинусов, легко получим

Таким образом,

Так как

Аналогично, исходя из элементарной формулы

легко установить, что

4) Чтобы дать менее тривиальный пример, рассмотрим интеграл

обычно связываемый с именем Пуассона (S. D. Poisson). Так как

то, предполагая видим, что подинтегральная функция непрерывна, и интеграл существует.

Разделив промежуток на равных частей, имеем

где П есть знак произведения. С другой стороны, из алгебры известно разложение

Используя это тождество при представим в виде

Пусть теперь тогда и

Если же то, переписав

найдем

Читатель видит, что прямой способ вычисления определенного интеграла, как предела сумм, требует даже в простых случаях значительных усилий; им пользуются редко. Наиболее практичным является прием, излагаемый в следующем п°.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление