Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

308. Основная формула интегрального исчисления.

Мы видели в 305, что для непрерывной в промежутке функции интеграл

оказывается первообразной функцией. Если есть любая первообразная для функция (например, найденная методами предыдущей главы), то [263]

Постоянную С легко определить, положив здесь ибо будем иметь

Окончательно

В частности, при получим

Это - основная формула интегрального исчисления.

Итак, значение определенного интеграла выражается разностью двух значений, при и при любой первообразной функции.

Если применить к интегралу теорему о среднем [304, 9°] и вспомнить, что то получим

читатель узнает в этом формулу Лагранжа [112] для функции . Таким образом, с помощью основной формулы (А) устанавливается связь между теоремами о среднем в дифференциальном и интегральном исчислении.

Формула (А) дает эффективное и простое средство для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции . Ведь для ряда простых классов таких функций мы умеем выражать первообразную в конечном виде через элементарные функции. В этих случаях определенный интеграл вычисляется непосредственно по основной формуле. Заметим лишь, что разность справа обычно изображают символом («двойная подстановка от а до и формулу пишут в виде

Так, например, сразу находим:

- результаты, не без труда полученные нами в предыдущем [ср. примеры 1,) 2), 3)].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление