Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

309. Примеры.

Приведем дальнейшие примеры использования формулы (А):

Аналогично

5) Найти значения интегралов - натуральные числа):

Указание, (а) Из формулы (2), полагая в ней можно вывести, что

Отсюда, так как отдельные слагаемые легко интегрируются по формуле (А), сразу получается

(б) Из формулы (1), полагая найдем

Отсюда, если использовать предыдущий результат,

6) Вычислить интеграл

где

Если в формуле [283 (6]

отождествить

то, дифференцируя, найдем

Отсюда легко вывести, что при выражение, стоящее под знаком логарифма, получит значение

а при значение

Таким образом, окончательно для искомого интеграла получается простое выражение

зависящее только от произведения

Заметим, что при выводе основной формулы нам на деле не было надобности требовать, чтобы функция была для первообразной в замкнутом промежутке Опираясь на следствие п° 131, достаточно было бы предположить это для открытого промежутка лишь бы только и на концах его функция сохраняла непрерывность.

Поэтому, например, мы имеем право писать [268] а

хотя при вопрос о производной найденной первообразной еще требовал бы исследования.

Некоторое затруднение мы встречаем при вычислении интеграла

так как найденная в 288, 13) первообразная

не имеет смысла при Однако существуют, очевидно, пределы

и если, как обычно, положить равными именно этим пределам, то функция будет не только определена, но и непрерывна на концах промежутка. Поэтому все же имеем

9) Аналогично вычисляется и интеграл

Мы уже имели [288, 10)] выражение первообразной

пригодное для Отсюда

причем значки символизируют необходимость брать соответствующие предельные значения функции

10) Если при вычислении интеграла

исходить из формально вычисленной первообразной

и подставить сюда то для интеграла получится парадоксальное значение 0 (интеграл от положительной функции не может иметь нулевое значение!).

Ошибка в том, что это выражение испытывает скачок при . Если порознь вычислять интегралы от 0 до и от до 1, то получится правильный результат

11) Легко вычислить, с помощью первообразных, интегралы

Если вспомнить о стремлении к ним соответственных интегральных сумм, то можно получить, например, такие предельные соотношения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление