Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

310. Другой вывод основной формулы.

Установим теперь основную формулу (А) при более общих предположениях. Пусть функция интегрируема в промежутке а непрерывная в функция имеет своей производной

повсюду в или даже лишь повсюду, исключая конечное число точек.

Разобьем промежуток произвольным образом на части точками

[позаботившись лишь о том, чтобы в их числе были все те точки, где не имеет места соотношение (3), если такие точки есть]. Очевидно, будем иметь

Применим к каждой из разностей, стоящих под знаком суммы, формулу конечных приращений, - условия для ее применения все выполнены. Тогда получим

где есть некоторое определенное (хотя нам не известное) значение х между Так как для этого значения то мы можем написать

Справа получилась интегральная сумма а для функции Мы предположили, что для суммы а при существует определенный предел, не зависящий от выбора чисел Следовательно, в частности, наша сумма, сохраняющая (при указанном выборе этих чисел) постоянное значение, также стремится к интегралу, откуда и вытекает, что

В предыдущем мы с помощью основной формулы вычисляли определенный интеграл. Но она может быть использована и в другом направлении. Заменив в основной формуле на на можно написать ее в виде

Таким образом, с помощью предельного процесса (ибо определенный интеграл есть предел), по заданной производной «восстанавливается» первообразная функция

Впрочем, это предполагает, что производная не только ограничена, но и интегрируема в согласии с римановым определением, что осуществляется не всегда.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление