Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

312. Примеры.

1) Вычислить интегралы

(при натуральном

Интегрируя по частям, найдем

Двойная подстановка обращается в нуль. Заменяя через получим

откуда рекуррентная формула:

по которой интеграл последовательно приводится к или Именно, при имеем

если

Такие же точно результаты получаются и для

(кликните для просмотра скана)

Двойная подстановка обращается в 0. Заменяя под знаком интеграла через придем к равенству

откуда и следует

Аналогично устанавливаются остальные равенства.

3) Вычислить (при натуральном и) интегралы

Интегрируя по частям, будем иметь

Если к обеим частям прибавить по то преобразуя выражение под знаком интеграла справа, легко получить

По этой рекуррентной формуле легко уже найти

Аналогично

4) Найти интеграл

где - натуральное число.

Интегрирование по частям [ср. 271, 5)]

приводит к рекуррентной формуле

откуда и получается

Особенность этого примера в том, что в точке значения как подинтегральных функций, так и функций под знаком подстановки определяются как предельные при

5) По формуле (III) п° 280 имеем (считая р и q натуральными числами)

что при переходе к определенным интегралам в промежутке от 0 до 1 дает 1 1

Последовательно применяя эту формулу, получим

и окончательно

6) Если в формулах (IV) п° 287 при натуральных и перейти к определенным интегралам, то, используя результат примера 1), можно получить более общую формулу

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление