Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

313. Формула замены переменной в определенном интеграле.

Та же основная формула (А) позволит нам установить правило замены переменной под знаком определенного интеграла.

Пусть требуется вычислить интеграл где - непрерывная в промежутке функция. Положим подчинив функцию условиям:

определена и непрерывна в некотором промежутке и не выходит за пределы промежутка когда изменяется в

3) существует в непрерывная производная

Тогда имеет место формула

Ввиду предположенной непрерывности подынтегральных функций существуют не только эти определенные интегралы, но и соответствующие им неопределенные, и в обоих случаях можно воспользоваться основной формулой. Но если будет одной из первообразных для первого дифференциала то функция как мы знаем, будет первообразной для второго дифференциала Поэтому имеем одновременно

и

откуда и вытекает доказываемое равенство.

Замечание. Отметим одну важную особенность формулы (9). В то время как при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной, получив искомую функцию выраженной через переменную мы должны были возвращаться к старой переменной х, здесь в этом нет надобности. Если вычислен второй из определенных интегралов (9), который представляет собой число, то тем самым вычислен и первый.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление