Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

314. Примеры.

1) Найдем интеграл с помощью подстановки роль здесь играют значения 0 и Имеем

2) Вообще при натуральном с помощью той же подстановки получим

(кликните для просмотра скана)

так что

Так как оба интеграла равны (например, второй приводится к первому подстановкой причем изменяется от — до то окончательно

Заметим, что то же значение имеет и интеграл в чем легко убедиться интегрированием по частям.

6) Установить, что

Указание. Подстановка

7) Преобразовать один в другой интегралы

считая - натуральным.

Это достигается путем преобразования переменной по формуле

Отсюда

причем выражение справа по абсолютной величине не превосходит единицы, и каждому 0 в промежутке однозначно отвечает некоторое в том же промежутке. При или также или . Имеем

и так как

так что окончательно

откуда и следует требуемое равенство.

[Заметим, что оба интеграла (с точностью до множителя выражают многочлен Лежандра , 118, б).]

8) Какова бы ни была непрерывная в промежутке функция всегда

(подстановка . В частности, так как то при любой непрерывной функции будет

9) Пусть непрерывна в симметричном промежутке Тогда в случае четной функции [99, 25)]

а в случае нечетной

В обоих случаях интеграл представляется в виде суммы интегралов и к первому из них применяется подстановка

10) Пусть имеем непрерывную периодическую функцию с периодом так что при любом Тогда в любых промежутках с длиной со, равной периоду, интеграл от этой функции имеет одно и то же значение

Для доказательства разлагаем: и, применяя к третьему интегралу справа подстановку убеждаемся, что он лишь знаком разнится от первого.

11) Доказать, что

где - любая непрерывная в промежутке [0, 1] функция.

Указание. Воспользоваться подстановкой

12) Доказать, что

где - любая функция, непрерывная для

Определяя угол а соотношениями

имеем

В силу (10) можно написать

или, если положить и использовать 9),

13) Доказать, что

где - любая непрерывная функция от z в промежутке [0, 1].

Представив первый интеграл в виде суммы интегралов подстановкой приводим и второй из них тоже к промежутку и получаем

Здесь мы делаем замену переменной, исходя из соотношения возрастанию и от 0 до очевидно, отвечает убывание от до 0. Дифференцируем учитывая, что

и

находим окончательно

Теперь уже нетрудно получить требуемый результат.

14) В заключение вернемся к интегралу Пуассона

[ср. 307, 4)]. Мы уже знаем, что при подинтегральная функция непрерывна и интеграл существует. Мы наново вычислим его с помощью некоторого искусственного приема, в котором замена переменной будет играть существенную роль.

Заметим предварительно, что из очевидных неравенств

логарифмируя и затем интегрируя от 0 до получаем (при )

Отсюда ясно, что при

Рассмотрим теперь интеграл

Если в этом интеграле положить причем изменяется от до 0, то окажется, что

В таком случае

или

Полагая (где t меняется от 0 до ), получим

Последний из полученных интегралов подстановкой (где к меняется от до 0) приводится к первому, так что у нас получается

Заменяя здесь на легко получить общую формулу

Пусть теперь так что при так как при этом (согласно замечанию вначале) то должны иметь тождественно

Легко теперь вычислить этот интеграл и при В самом деле

и

так что, интегрируя от 0 до будем иметь

Но, по предыдущему, следовательно, при имеем

Те же результаты мы получили и в 307.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление