Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена.

В качестве еще одного примера на замену переменной рассмотрим замечательную формулу, установленную Гауссом (С. F. Gauss) для преобразования интеграла

Положим здесь

легко видеть, что при изменении 0 от 0 до растет в тех же пределах. Дифференцируем

Но

так что

С другой стороны,

и окончательно

Если положить то

Это и есть формула Гаусса.

Применяя это преобразование повторно, получим, что

где варианты определяются рекуррентными соотношениями

Мы уже знаем [35, 4], что эти варианты стремятся к некоторому общему пределу который мы назвали «средним арифметико-геометрическим» чисел а и Из легко получаемых неравенств

переходя к пределу, находим теперь, что

Таким образом, каждое из чисел просто выражается одно через другое. Пусть, например, требуется вычислить интеграл

Здесь варианты определенные выше, стремятся кбыстро: уже оба приближенно равны 1,198140, и можно положить равным этому числу. Тогда получаем приближенно

Обратно, интеграл приводится к полному эллиптическому интегралу первого рода

и легко может быть вычислен по таблицам; а уже отсюда получается

Рассмотрим теперь полный эллиптический интеграл первого рода

при любом значении модуля к он получается из при

Желая применить к нему формулу Гаусса, вычисляем прежде всего

так что

или

Эта формула, равносильная формуле Гаусса, на деле была получена до Гаусса и представляет частный случай так называемого преобразования Ландена (Landen). Последовательно применяя ее, получим

где вариант определяется индуктивно

так что чем обеспечивается быстрое стремление к 0 при . В то же время

откуда при и, наконец,

На этом основывается метод приближенного вычисления интеграла который - при достаточно большом и - попросту полагают равным

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление