Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

316. Другой вывод формулы замены переменной.

Мы дадим теперь другой вывод формулы (9) при измененных предположениях. Прежде всего (и это - самое важное) мы не станем предполагать функцию непрерывной, а только лишь интегрируемой.

Зато от функции мы дополнительно потребуем, чтобы при изменении от до она переходила от значения к значению монотонно изменяясь.

Для определенности допустим, что так что функция монотонно возрастает.

Разобьем промежуток произвольно на части с помощью точек

если положить , то одновременно будем иметь

Если наибольшая из длин (обозначим ее через А) стремится к нулю, то ввиду (равномерной) непрерывности функции то же будет справедливо относительно наибольшей из длин [см. 87].

Возьмем теперь по произволу число в каждом промежутке и составим интегральную сумму для второго из интегралов (9)

Положим так что Если к функции в промежутке применить формулу конечных приращений, то получим

где также но (нам не известное) вообще отлично от наудачу взятого значения Вместе с тем интегральной сумме для первого из интегралов (9)

теперь можно придать вид

Эта сумма при очевидно, имеет своим пределом интеграл Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремится и сумма а, достаточно установить, что разность стремится к нулю.

Задавшись произвольным числом ввиду (равномерной) непрерывности функции можно найти такое чтобы при выполнялись неравенства

[см. 87, следствие]. Тогда

если через обозначить верхнюю границу для и сумму заменить через

Теперь ясно, что при сумма а стремится к пределу а это значит, что существует интеграл и имеет место формула (9). Доказательство завершено.

Замечание. Подчеркнем особо, что на основании доказанного простые и часто полезные формулы, установленные в упражнениях 8), 9), 10) п° 314, распространяются теперь на случай любой интегрируемой функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление