Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

319. Трансцендентность числа е.

Та же формула (7) п° 311 может послужить отправным пунктом для доказательства одной замечательной теоремы Эрмита относящейся к числу е.

Все вещественные (а также и вообще комплексные) числа распределяются на два класса - алгебраические и трансцендентные. Число называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами (очевидно, не умаляя общности, эти

коэффициенты можно считать целыми); в противном случае число называют трансцендентным.

Примером алгебраического числа может служить любое рациональное число или иррациональное число, выражающееся через рациональные в радикалах: число служит корнем уравнения а число - корнем уравнения

Эрмит установил, что является трансцендентным числом. Мы приведем доказательство этой теоремы.

Допустим, что служит корнем уравнения

где все коэффициенты - целые числа.

Пусть в формуле (7) п° 311 будет произвольный многочлен степени, а тогда, если взять эта формула примет вид

так как Полагая для краткости

имеем отсюда

Возьмем здесь последовательно умножая получаемые равенства соответственно на и складывая, в силу (1), придем к окончательному равенству

которое, напомним это, должно иметь место для любого многочлена Теперь мы покажем, что этот многочлен можно выбрать так, чтобы равенство (2) стало невозможным; этим теорема и будет доказана.

Положим, с этой целью,

где - простое число, большее . Производные этого многочлена порядка и выше имеют целые коэффициенты и притом делящиеся на ; это вытекает непосредственно из того, что произведение последовательных натуральных чисел делится на Поэтому при любом целом значении х все эти производные имеют целые значения, кратные . Так как при многочлен и его первые

производных обращаются в 0, то будут цельши числами, кратными .

Иначе обстоит дело с При многочлен обращается в 0 лишь с своими производными, так что

Все слагаемые, начиная со второго, как мы видели, суть целые числа, кратные ; но ним на не делится. Так как при сделанных относительно предположениях и не делится на , то приходим к заключению, что первая сумма, стоящая в равенстве (2) справа, есть целое число, не делящееся на и, следовательно, заведомо не равное нулю.

Обратимся ко второй сумме в (2). В промежутке очевидно,

Поэтому

и, если сумму обозначить через С,

Но мы знаем [35, 1)], что последний множитель при стремится к 0, так что вторая сумма в (2), при достаточно большом , будет по абсолютной величине меньше первой. В таком случае их сумма не может равняться 0, и мы пришли к противоречию.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление