Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

320. Многочлены Лежандра.

Поставим себе задачу — найти такой многочлен степени чтобы для любого многочлена степени ниже выполнялось равенство

где - произвольные, но фиксированные числа.

Каждый многочлен степени можно рассматривать как производную от некоторого многочлена степени который из получается -кратным последовательным интегрированием. Если при каждом интегрировании произвольную постоянную выбирать так, чтобы при интеграл обращался в 0, то для многочлена окажутся выполненными еще условия

Итак, задача наша сводится к нахождению такого многочлена степени чтобы было

для любого многочлена степени ниже и, кроме того, выполнялись равенства (4). Но по формуле (7) п° 311, если заменить в ней на

Если принять во внимание (4), а также то, что то условие (5) приведется к виду

Ввиду полной произвольности многочлена степени значения этого многочлена и его последовательных производных при можно рассматривать как произвольные числа, а тогда условие (6) равносильно следующим:

Из (4) и (7) видим, что многочлен должен иметь числа а и корнями кратности и, следовательно, лишь постоянным множителем может отличаться от произведения Таким образом, окончательно

Если, в частности, взять то придем к уже знакомым нам многочленам Лежандра

Мы условились в 118, б) обозначать многочлены Лежандра через если постоянные выбраны так:

для этих многочленов имеем Обыкновенно полагают еще Все члены многочлена имеют показатели одинаковой с четности. Старший коэффициент, очевидно, будет

По самому определению многочленов Лежандра имеем всегда

каков бы ни был многочлен степени ниже . В частности, если — два неравных неотрицательных числа, то

Найдем значение интеграла он лишь множителем отличается от интеграла

Если применить к последнему снова формулу (7) п° 311, заменив на и положив

то он сведется к интегралу

(все внеинтегральные члены исчезают, потому что функция и и ее производные до включительно при обращаются в 0). Полагая здесь [ср. 314, 2)], получим

так что окончательно

В заключение, используя свойства многочлена Лежандра, выведем рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных таких многочлена.

Заметим предварительно, что степень может быть представлена в виде линейной однородной функции от с постоянными коэффициентами; тогда то же справедливо и для любого многочлена степени Поэтому

где - постоянные коэффициенты. Легко установить, что Например, чтобы определить умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем от - 1 до

Ввиду (8) и (9) все интегралы, кроме одного, будут нулями, и мы получим

Коэффициент также равен 0, ибо левая часть равенства не содержит вовсе члена с Для определения приравняем коэффициенты при в обеих частях равенства

Наконец, чтобы найти приравняем обе части равенства при

Подставляя найденные значения коэффициентов, окончательно получаем

Это и есть искомое рекуррентное соотношение, которое позволяет находить многочлены Лежандра последовательно, отправляясь от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление