Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

321. Интегральные неравенства.

В п° 133 и 144 был выведен ряд неравенств для сумм, покажем теперь, как подобные же неравенства могут быть установлены для интегралов. Все рассматриваемые здесь функции будем считать интегрируемыми.

1) В п° 133 мы имели неравенство (4), которое можно переписать так:

Рассмотрим в промежутке положительные функции Разделив промежуток точками

на части, с длинами положим теперь в написанном неравенстве мы получим

Все суммы здесь имеют вид интегральных сумм и при стремятся к соответствующим интегралам. Таким образом, в пределе получим «интегральный аналог» неравенства (12):

В частности, при будем иметь:

Выражение справа называется «средним арифметическим» значений функции в промежутке , а выражение слева - их «средним геометрическим».

2) Выведем теперь интегральные аналоги неравенств Коши - Гельдера и Минковского [133, (5) и (7)]:

и

Пусть в промежутке даны положительные функции разложив, как и выше, этот промежуток точками положим в (13):

а в (14)

Будем иметь:

и

Переходя к пределу, при получаем окончательно

и

Отметим частные случаи этих неравенств при

и

Первое из них принадлежит В. Я. Буняковскому. Второе легко приводится к первому возведением в квадрат.

3) Перейдем, наконец, к неравенству Иенсена [144 (12]:

здесь функция предполагается выпуклой в некотором промежутке X, которому принадлежат точки , - положительные числа. Пусть в некотором промежутке задана функция значения которой содержатся в X, и положительная функция Теперь будут означать точки деления промежутка прежние х, в (15) заменим на положим равными Переходя, как и выше, от интегральных сумм к интегралам, получим интегральное неравенство Иенсена:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление