Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

268. Интегрирование путем замены переменной.

Изложим один из сильнейших приемов для интегрирования функций — метод замены переменной или подстановки. В основе его лежит следующее простое замечание: если известно, что

то тогда

[Все фигурирующие здесь функции предполагаются непрерывными.]

Это прямо вытекает из правила дифференцирования сложной функции [98]

если учесть, что То же можно выразить и иначе, сказав, что соотношение

сохраняет силу и при замене независимой переменной на функцию

Пусть требуется вычислить интеграл

Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию от чтобы подинтегральное выражение представилось в виде

где - более удобная для интегрирования функция, чем Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл

чтобы из него подстановкой получить искомый интеграл. Обыкновенно пишут просто

подразумевая уже, что в функции от которая представлена интегралом справа, произведена указанная замена.

Найдем, например, интеграл

Так как то, полагая преобразуем подинтегральное выражение к виду

Интеграл от последнего выражения вычисляется легко:

Остается лишь вернуться к переменной х, подставляя вместо .

Обращаем внимание читателя на то, что при выборе подстановки упрощающей подинтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель дающий дифференциал новой переменной, [см. (1)]. В предыдущем примере удача подстановки обусловливалась наличием множителя

В этой связи поучителен пример

здесь подстановка была бы непригодна именно ввиду отсутствия упомянутого множителя. Если попробовать выделить из подинтегрального выражения, в качестве дифференциала новой переменной, множитель иди лучше - то это приведет к

подстановке так как остающееся выражение

этой подстановкой упрощается, то подстановка оправдана. Имеем

При некотором навыке в производстве подстановки можно самой переменной и не писать. Например, в интеграле

мысленно рассматривают как новую переменную и сразу переходят к результату. Аналогично

Подстановка здесь подразумевается.

Читатель видит теперь, что правило III, 266, по существу, сводится к линейной подстановке

Иной раз подстановка применяется в форме, отличной от указанной. Именно, в подинтегральное выражение непосредственно подставляют, вместо х, функцию от новой переменной и получают в результате выражение

Очевидно, если в этом выражении произвести подстановку , где - функция, обратная для то вернемся к исходному подинтегральному выражению Поэтому, как и прежде, имеет место равенство (2), где справа, после вычисления интеграла, следует положить

Для примера найдем интеграл

Если положить (чтобы все корни «извлеклись»), то получим

Теперь остается перейти к переменной по формуле и окончательно

Более интересен пример

Разность квадратов под корнем (из которых первый постоянен) подсказывает нам тригонометрическую подстановку Имеем

и

Но мы уже знаем интеграл

[267, (17) (а)]. Для перехода к x подставляем преобразование второго слагаемого облегчается тем, что

Окончательно

Уменье разыскивать выгодные подстановки создается упражнением. Хотя общих указаний по этому поводу дать нельзя, но отдельные частные замечания, облегчающие это разыскивание, читатель найдет в следующем п°. В канонических случаях подстановки будут просто указаны в курсе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление