Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Приближенное вычисление интегралов

322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл где есть некоторая заданная в промежутке непрерывная функция. В § 3 мы имели много примеров вычисления подобных интегралов, либо с помощью первообразной, если она выражается в конечном виде, либо же - минуя первообразную - с помощью различных приемов, большей частью искусственных. Нужно отметить, однако, что всем этим исчерпывается лишь довольно узкий класс интегралов; за его пределами обычно прибегают к различным методам приближенного вычисления.

В настоящем параграфе мы познакомимся с простейшими из этих методов, в которых приближенные формулы для интегралов составляются по некоторому числу значений подинтегральной функции, вычисленных для ряда (обычно равноотстоящих) значений независимой переменной.

Первые относящиеся сюда формулы проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.

Прежде всего, вторично используя ту мысль, которая привела к самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 6) на полоски, скажем, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

где Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или - если угодно - определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта приближенная формула и называется формулой прямоугольников.

Рис. 6.

Рис. 7.

На практике обычно берут если соответствующую среднюю ординату обозначить через то формула перепишется в виде

Впредь, говоря о формуле прямоугольников, мы будем иметь в виду именно эту формулу.

Геометрические соображения естественно приводят и к другой, часто применяемой, приближенной формуле. Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной, с вершинами в точках где . Тогда наша криволинейная фигура заменится другой, состоящей из ряда трапеций (рис. 7). Если по-прежнему считать, что промежуток разбит на равные части, то площади этих трапеций будут

Складывая, придем к новой приближенной формуле

Это так называемая формула трапеций.

Можно показать, что при возрастании до бесконечности погрешности формулы прямоугольников и формулы трапеций безгранично убывают. Таким образом, при достаточно большом обе эти формулы воспроизводят искомое значение интеграла с произвольной степенью точности.

Для примера возьмем известный нам интеграл

и применим к нему обе приближенные формулы, беря и вычисляя на четыре знака.

По формуле прямоугольников имеем

По формуле же трапеций

Оба полученных приближенных результата обладают примерно одинаковой степенью точности - они разнятся от истинного значения (в ту и в другую сторону) меньше чем на 0,0005.

Читатель, конечно, дает себе отчет в том, что погрешность мы смогли оценить здесь лишь потому, что наперед знали точное значение интеграла. Для того чтобы наши формулы были действительно пригодны для приближенных вычислений,

нужно иметь удобное выражение для погрешности, которое позволяло бы не только оценивать погрешность при данном но и выбирать обеспечивающее требуемую степень точности. К этому вопросу мы вернемся в п° 325.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление