Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

323. Параболическое интерполирование.

Для приближенного вычисления интеграла можно попытаться заменить функцию «близким» к ней многочленом

и положить

Иначе можно сказать, что здесь - при вычислении площади — данная «кривая» заменяется «параболой порядка» (3), в связи с чем этот процесс получил название параболического интерполирования.

Самый выбор интерполяционного многочлена чаще всего производят следующим образом. В промежутке берут значений независимой переменной и подбирают многочлен так, чтобы при взятых значениях х его значения совпадали со значениями функции Этим условием, как мы знаем [128], многочлен определяется однозначно, и его выражение дается интерполяционной формулой Лагранжа:

При интегрировании получается линейное относительно значений выражение, коэффициенты которого от этих значений уже не зависят. Вычислив коэффициенты раз навсегда, можно ими пользоваться для любой функции в данном промежутке

В простейшем случае при функция попросту заменяется постоянной , где - любая точка в промежутке скажем, средняя: . Тогда приближенно

Геометрически - площадь криволинейной фигуры заменяется здесь площадью прямоугольника с высотой, равной средней ее ординате.

При функция заменяется линейной функцией которая имеет одинаковые с ней значения при Если взять то

и, как легко вычислить,

Таким образом, здесь мы приближенно полагаем

На этот раз площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции: вместо кривой берется хорда, соединяющая ее концы.

Менее тривиальный результат получим, взяв . Если положить , то интерполяционный многочлен будет иметь вид

С помощью легкого вычисления установим

и аналогично

Таким образом, приходим к приближенной формуле

Здесь площадь фигуры под данной кривой заменяется площадью фигуры, ограниченной обыкновенной параболой (с вертикальной осью), проходящей через крайние и среднюю точки кривой.

Увеличивая степень к интерполяционного многочлена, т. е. проводя параболу (3) через все большее число точек данной кривой, можно рассчитывать добиться большей точности. Но более практичным оказывается другой путь, основанный на сочетании идеи параболического интерполирования с идеей дробления промежутка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление