Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

325. Дополнительный член формулы прямоугольников.

Начнем с формулы (4). Предположим, что в промежутке функция имеет непрерывные производные первых двух порядков. Тогда, разлагая [по формуле Тейлора, 126 (13)] по степеням двучлена вплоть до квадрата его, будем иметь для всех значений

где содержится между и зависит от х.

Если проинтегрировать это равенство в промежутке от а до то второй член справа исчезнет, ибо

Таким образом, получаем

так что дополнительный член формулы (4), восстанавливающий ее точность, имеет вид

Обозначив через и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции в промежутке и пользуясь тем, что

второй множитель подынтегрального выражения не меняет знака, по обобщенной теореме о среднем можем написать

где содержится между и М. По известному свойству непрерывной функции [82], найдется в такая точка что и окончательно

Замечание. Естественно было бы, разлагая функцию по степеням оборвать разложение уже на первой степени этого двучлена, т. е. воспользоваться формулой

Это привело бы нас, при интегрировании, к равенству

так что дополнительный член выразился бы интегралом

содержащим лишь первую производную Но здесь второй множитель подинтегралъного выражения меняет знак в промежутке и применение обобщенной теоремы о среднем - в целях упрощения выражения для - оказывается невозможным. Продвижение в тейлоровом разложении еще на один член, в связи с равенством (11), обеспечило нам успех.

Если теперь разделить промежуток на и равных частей, то для каждого частичного промежутка будем иметь точную формулу

Сложив эти равенства (при ) почленно, получим при обычных сокращенных обозначениях

где выражение

и есть дополнительный член формулы прямоугольников (1). Так как выражение

также содержится между и М, то и оно представляет одно из значений функции

Поэтому окончательно имеем

При возрастании этот дополнительный член убывает примерно как

Вернемся для примера к вычислению интеграла произведенному в 322. Для подинтегральной функции имеем ; эта производная в промежутке [0, 1] меняет знак, но по абсолютной величине остается меньшей 2. Отсюда, по формуле Мы вычисляли ординаты на четыре знака с точностью до 0,00005; нетрудно видеть, что погрешность от округления ординат может быть включена в приведенную выше оценку. Истинная погрешность, действительно, меньше этой границы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление