Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

328. Примеры.

1) Вычислим интеграл — с точностью до 0,001, воспользовавшись формулой прямоугольников.

Так как для имеем (если то по формуле (13)

Если взять то дополнительный член нашей формулы будет . Нам придется внести еще погрешность, округляя значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на . С этой целью достаточно вычислять значения функции — с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:

Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно, и к их среднему арифметическому) содержится между , а также принимая во внимание оценку дополнительного члена найдем, что содержится между границами , а следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом,

2) Провести то же вычисление по формуле трапеций.

В этом случае по формуле (14)

Попробуем и здесь взять хотя тогда гарантировать можно лишь что

Ординаты (вычисленные с той же точностью, что и выше)

будут

Учитывая все поправки, найдем, что содержится между границами т. е. снова между 0,692 и 0,694, и т. д.

3) С помощью формулы Симпсона, при том же числе ординат, можно получить более точный результат. Так как четвертая производная подинтегральной функции есть — то по формуле (16)

При (тогда число ординат будет то же, что и в предыдущем случае) имеем . Вычисление поведем на пять знаков, с точностью до 0,000005:

Отсюда содержится между границами

так что, например, можно положить

В действительности истинная погрешность оказывается меньшей чем 0,000005 [ср. замечание в конце предыдущего п°].

4) Поставим себе задачей вычислить полный эллиптический интеграл 2-го рода

с точностью до 0,001 по формуле Симпсона.

Для функции при изменении х от 0 до имеем поэтому [см. (16)]

Возьмем так что . Тогда

К полученному результату, кроме поправки следует добавить еще (неотрицательную) поправку на округление, которая не превосходит

Таким образом,

и можно утверждать, что

(На деле в полученном результате все знаки верны.)

5) Вычислить интеграл

с точностью до 0,0001 по формуле Симпсона.

Непосредственно вычислив четвертую производную от подинтегральной функции, убеждаемся, что по абсолютной величине она не превосходит 12; поэтому

Достаточно взять ибо Имеем

(И здесь в полученном результате верны все шесть знаков!)

6) Найдем интеграл

[ср. 314, 6)] по формуле Симпсона, при вычисляя на пять знаков

В полученном результате все знаки верны. Предоставляем читателю оценить погрешность по формуле (16).

Значение иногда называют постоянной Каталана (Е. Catalan) [см. также 440, 6) (а)].

Замечание. Последние три примера интересны в том отношении, что соответствующие первообразные функции в конечном виде не выражаются, так что ими воспользоваться для вычисления определенных интегралов было бы невозможно.

Наоборот, если эти первообразные представить в виде определенных интегралов с переменным верхним пределом, то можно было бы вычислить значения этих интегралов, отвечающих ряду значений верхнего предела. Этим, с принципиальной стороны, выясняется возможность составления для функций, заданных лишь их интегральными выражениями, таких же таблиц, какие известны читателю для элементарных функций.

На этом пути можно также получить для упомянутых функций и приближенные выражения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление