Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ

§ 1. Длина кривой

329. Вычисление длины кривой.

Пусть на плоскости параметрическими уравнениями

задана непрерывная простая кривая . В первом томе [247] было установлено понятие длины кривой как точной верхней границы периметров, вписанных в кривую ломаных

В предположении, что функции (1) имеют непрерывные производные, было доказано [248], что кривая спрямляема, т. е. длина дуги конечна. Больше того, если рарсмотреть переменную дугу , где М - любая точка кривой, отвечающая значению параметра, то было установлено, что длина

есть дифференцируемая функция от производная которой выражается так:

или - короче -

[248 (10)] и, очевидно, тоже непрерывна.

Владея понятием интеграла, мы можем теперь перейти и к вычислению длины s кривой По основной формуле интегрального исчисления, сразу получим

или

Длина переменной дуги о которой выше шла речь, как легко понять, выразится формулой

Может случиться, что за начальную точку отсчета дуг берется какая-либо внутренняя точка . Если по-прежнему определяет именно эту точку (в этом случае уже не будет концом промежутка, где изменяется то формула (5) дает, очевидно, величину дуги со знаком, именно, со знаком плюс, если и точка М лежит с положительной стороны от начала отсчета дуг и со знаком минус, если и точка М лежит с отрицательной стороны от

Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных координатах

то, принимая х за параметр, из формулы (4), как ее частный случай, получим

Наконец, случай полярного задания кривой

как известно, также приводится к параметрическому с помощью обычных формул перехода

роль параметра здесь играет . Для этого случая

Легко для этих двух частных случаев задания кривой написать и выражения для величины переменной дуги если М отвечает абсциссе х или полярному углу :

или, соответственно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление