Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению.

При определении самого понятия длины непрерывной простой кривой (1) мы исходили из равенства (2). Докажем теперь, что - в случае незамкнутой кривой - ее длина является не только точной верхней границей для множества длин вписанных в кривую ломаных, но и попросту пределом для - при условии, что стремятся к 0 длины всех сторон ломаной (или, точнее, длина Я наибольшей из этих сторон):

Впрочем, удобнее исходить из значений параметра

определяющих положение на кривой вершин ломаной , и предположить, что стремятся к нулю все приращения (или, точнее, наибольшее из них Две леммы п° 245 обеспечивают равносильность обеих характеристик предельного процесса. Итак, подлежит доказательству предельное соотношение

Сначала отметим следующее важное свойство периметра р. Если он отвечает некоторому способу (7) разложения промежутка , и затем мы вставим еще одну точку деления

то периметр разве лишь увеличится, причем увеличение его не превзойдет удвоенной суммы колебаний функций в промежутке . Действительно, добавление новой точки заменяет в сумме одно слагаемое (длину стороны):

суммой двух слагаемых (суммой длин двух сторон)

которая во всяком случае не меньше, чем слагаемое (8).

С другой стороны, вся сумма (9) не превосходит суммы

и, следовательно, увеличение периметра и подавно не превосходит этого числа, которое, очевидно, меньше упомянутой удвоенной суммы колебаний.

В дальнейших рассуждениях ограничимся случаем конечного . Для произвольно малого числа по определению точной верхней границы, найдется такой способ разбиения промежутка на части точками

что для соответствующего периметра будет выполняться неравенство

Ввиду равномерной непрерывности функций существует столь малое число что

лишь только Разобьем же промежуток на части точками (7) под единственным условием, что (т. е. что все и составим соответствующую сумму .

Рассмотрим третий способ дробления промежутка на части, при котором точками деления служат как все точки способа (7), так и все точки способа (10); пусть ему отвечает периметр Так как этот способ получен из (10) путем добавления новых точек, то в силу сказанного вначале

С другой стороны, тот же способ получен и из (7) добавлением точек . Добавление каждой точки увеличивает не более, чем на удвоенную сумму соответствующих колебаний функций , т. е. меньше, чем на . Так как этот процесс повторяется меньше, чем раз, то превзойдет меньше чем на

Из неравенств (13), (12), (11) следует, что

так что откуда вытекает доказываемое утверждение (6*), а значит и (6).

Так как из (6) обратно вытекает (2), то равенство (6) можно рассматривать как новое определение длины кривой, равносильное прежнему.

Замечание. Однако, как нетрудно видеть, в случае замкнутой кривой такое определение не может быть применено безоговорочно: ведь даже при соблюдении указанного условия ничто не мешало бы ломаной стягиваться в точку, а ее периметру стремиться к 0 (рис. 8). Суть дела в том, что при незамкнутой кривой одно убывание всех звеньев ломаной до нуля уже обеспечивает все более тесное примыкание их к соответствующим частичным дугам; поэтому-то и естественно предел ее периметра принять за длину всей дуги. В случае же замкнутой кривой дело обстоит уже не так.

Рис. 8.

[Отметим, что если вместо стремления к 0 длин всех сторон ломаной, потребовать того же относительно диаметров соответствующих дуг, то новое определение было бы в равной мере приложимо как к незамкнутым, так и к замкнутым кривым.]

Покажем теперь, как из определения (6) или - что то же - (6*) непосредственно вывести выражение (4) для длины кривой. Будем исходить из готового выражения для периметра ломаной [см. 248

где - некоторые значения из промежутка

Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде на то преобразованное выражение

очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для интеграла (4). При стремлении к нулю, эта сумма и будет иметь своим пределом упомянутый интеграл. Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремится и периметр ломаной, достаточно обнаружить, что разность стремится к нулю.

С этой целью произведем оценку этой разности

Элементарное неравенство

если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы в отдельности, даст нам

Ввиду непрерывности функции по любому заданному найдется такое что лишь только Если взять (т. е. все ), то и так что

Это доказывает формулу (4).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление