Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

331. Примеры.

1) Цепная линия: (рис. 9). Мы имели уже в 252. 1):

Рис. 9.

Тогда по формуле (5а), если за начало отсчета дуг принять вершину А кривой

Вспоминая, что имеем также . Таким образом, в (рис. 9) катет в точности равен (по длине) дуге Мы получили простой способ графического спрямления цепной линии.

2) Парабола:

Приняв за начало отсчета дуг вершину для произвольной точки М с абсциссой х имеем

3) Астроида:

Пользуясь уже вычисленными [224, 4)] значениями имеем

Длина четверти астроиды между точками , по формуле (4), равна

так что длина всей кривой будет 6а.

4) Циклоида:

Здесь (при

длина одной ветви циклоиды, по формуле (4), будет

5) Эвольвента круга:

Имеем (при

так что переменная дуга от точки до любой точки выразится так:

При в предшествующей формуле справа нужно лишь поставить знак минус.

6) Архимедова спираль:

По формуле (56), отсчитывая дугу от полюса О до любой точки М (отвечающей углу 0), получаем

Любопытно, что подставив здесь мы придем к выражению, формально сходному с выражением для длины дуги параболы [см. 2)].

7) Логарифмическая спираль: (рис. 10).

Так как то и для дуги между двумя точками с координатами будем иметь по той же формуле (56)

Если вспомнить, что для логарифмической спирали то полученный результат можно написать так:

Рис. 10.

Приближая точку к полюсу О, т. е. устремляя к нулю и принимая получаемый при этом предел длины дуги за длину дуги мы придем к еще более простому результату

С помощью этой формулы из (см. рисунок) уже легко усмотреть, что дуга s равна полярному отрезку касательной

Мы получили весьма простой способ графического спрямления нашей кривой.

Эллипс:

Удобнее, впрочем, взять уравнения эллипса в параметрической форме Очевидно,

где есть численный эксцентриситет эллипса.

Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой его точки в первом квадранте, получим

Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интегралом 2-го рода [293, см. также 305]; как указывалось, этот факт послужил поводом для самого названия «эллиптический».

В частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полный эллиптический интеграл

Длина же всего обвода будет

Интересно отметить, что для длины одной волны синусоиды где получается в точности такой же результат. Геометрически это совпадение объяснить легко. Вообразим прямой круговой цилиндр; в пересечении его поверхности с плоскостью, наклонной к образующим, получится эллипс. Если разрезать поверхность цилиндра по образующей, проходящей через вершину малой оси, и развернуть, то обвод эллипса перейдет в синусоиду.

Аналогично к эллиптическим интегралам (обоих родов) приводится и вычисление дуги гиперболы.

9) Улитка:

Здесь

Поэтому (при ) для длины дуги от точки, для которой до точки с любым получим выражение в виде эллиптического интеграла (2-го рода)

Длина всей кривой выразится полным эллиптическим интегралом:

Однако для частного случая - кардиоиды дело значительно упрощается. В этом случае

так что

Если (рис. 11) из полюса О радиусом 2а описать дугу до пересечения с продолженным радиусом-вектором , то хорда , очевидно, будет равна дуге . Длина всей кардиоиды будет 8а.

10) Лемниската:

Вычислим длину дуги лемнискаты от вершины, отвечающей до любой точки с полярным углом

Имеем

откуда

Рис. 11.

В таком случае

и по формуле (56)

мы снова приходим к эллиптическому интегралу (1-го рода). Так как таблицы вычислены для интегралов, в которых множитель кг при меньше единицы, то прибегаем к замене переменной. Положим (так как то и угол отсюда определить действительно можно); тогда 4

и окончательно

Полагая в предельном случае для длины четверти лемнискаты получим выражение через полный эллиптический интеграл

длина всей лемнискаты будет

Замечательно, что задача спрямления дуги кривой столь часто приводит именно к эллиптическим интегралам.

11) В заключение приведем пример использования формулы для длины дуги при построении эвольвенты кривой [256].

Рассмотрим цепную линию. Если текущие координаты ее точки обозначить через (применительно к обозначениям п° 256), а дугу ее, отсчитываемую от вершины, - через а, то уравнение кривой напишется в виде

а дуга представится формулой [см. 1)]

Отсюда можно выразить I и непосредственно в функции от

Теперь по формулам (17) п° 256, учитывая, что здесь [см. (18)]

можно написать параметрические уравнения произвольной эвольвенты

Остановимся на той из эвольвент, которая отвечает она исходит из вершины цепной линии и имеет в ней точку возврата (рис. 12). Исключая а, эту кривую (называемую трактрисой) можно выразить и явным уравнением

Если вспомнить выражение «отрезка касательной» [230 (4)]

то отсюда легко получить, что Этим выражено замечательное свойство трактрисы: отрезок касательной для нее имеет постоянную величину.

Этот результат легко получается и непосредственно из свойств цепной линии [см. в 1) ее спрямление, рис. 9].

Рис. 12.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление