Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

269. Примеры.

(а) Решение. Полагая имеем так что

Указание. Та же подстановка. Ответ: — В обоих случаях интегралы имели вид

где - удобная для интегрирования функция; для таких интегралов естественна подстановка Аналогично интегралы вида

берутся подстановкой Под последний тип подходит третий интеграл.

(в) Ответ:

Решение. Можно положить здесь но проще сразу взять ибо множитель лишь числовым коэффициентом отличается от Имеем, таким образом,

Указание. Все эти интегралы имеют вид

и берутся подстановкой

Ответ:

4) Интегралы вида

берутся, соответственно, подстановками

(кликните для просмотра скана)

Дадим теперь несколько примеров интегрирования выражений, содержащих двучлены вида . В этих случаях обычно бывает выгодно заменить х тригонометрической или гиперболической функцией от новой переменной используя соотношения

Подстановка: так что

Перейдем теперь к переменной х, полагая — и выражая через Окончательно

Здесь удобнее применить гиперболическую подстановку. Останавливаясь для примера, на нижнем знаке, положим: (при ).

Интеграл приведется просто к Для перехода к х вспомним выражение обратной для гиперболического косинуса функции [49, 3)]

причем в постоянную С мы включаем и слагаемое - .

В данном случае одинаково просто приводят к цели и тригонометрическая и гиперболическая подстановки. Для примера, во втором интеграле возьмем тогда и

Подстановка: приводит этот интеграл к такому [см. (б) (а)]:

Но

так что окончательно

В заключение рассмотрим еще два примера интегрирования путем замены переменной, где подстановка не столь естественна, как в предыдущих случаях, но зато быстро ведет к цели.

Положим и примем за новую переменную. При возведении в квадрат, в обеих частях можно опустить, и в результате

так что

Окончательно

Положим, где - новая переменная; тогда

Таким образом,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление