Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

332. Натуральное уравнение плоской кривой.

Представление кривой с помощью уравнения между координатами ее точек (по отношению к какой-либо системе координат), несмотря на всю полезность такого представления, часто носит искусственный характер, поскольку координаты не являются существенными геометрическими элементами кривой. Такими существенными элементами, наоборот, являются дуга кривой отсчитываемая в определенном направлении от некоторой начальной точки, и радиус кривизны (или сама кривизна [см. 250, 251].

Для каждой кривой между этими элементами можно установить зависимость вида

которая и называется натуральным уравнением кривой.

Докажем, что кривые, имеющие одно и то же натуральное уравнение, могут отличаться только своим положением на плоскости, так что форму кривой натуральное уравнение определяет вполне однозначно.

Пусть же две кривые (I) и (II) имеют одно и то же натуральное уравнение, которое мы возьмем в виде

Для того чтобы доказать их конгруентность, сначала перенесем одну из кривых так, чтобы совпали точки, от которых на обеих кривых отсчитываются дуги, а затем повернем эту кривую так, чтобы совпали положительные направления касательных в этих точках.

Отметим указателями (1 и 2) соответствующие одному и тому же значению s элементы обеих кривых:

координаты переменной точки:

угол касательной с осью

радиус кривизны:

В силу (14) будем иметь при всех , т. е. [250, (2)]

Кроме того, как предположено, при

и

Из (15), по следствию п° 131 вытекает, что могут разниться лишь на постоянную; но, как мы видели, при эти величины совпадают, следовательно равенство (17) имеет место всегда. В таком случае для всех значений s будет [249, (15)]

откуда аналогичным образом заключаем, что и равенства (16) имеют место всегда, т. е. кривые совпадают.

Покажем теперь, как по натуральному уравнению (14) кривой восстановить координатное представление ее. Прежде всего из (14) имеем так что

где постоянная. Затем, исходя из равенств

интегрируя, находим

где - новые постоянные.

Нетрудно понять, что вращение кривой влечет за собой изменение постоянной , а параллельное перенесение ее связано с изменением постоянных Равенство этих постоянных нулю означает, очевидно, что кривая расположена так, что начальная точка для отсчета дуг совмещена с началом координат, а положительное направление касательной в ней совпадает с положительным направлением оси х.

Пусть теперь уравнение (14) взято произвольно [лишь функцию мы будем предполагать непрерывной]. Тогда, определив сначала а формулой (18), а затем х и у - уравнениями (20), получим параметрическое представление некоторой кривой. Дифференцируя (20), вернемся к (19), откуда прежде всего усматриваем, что

так что действительно, является дифференциалом дуги этой кривой, дугой (если надлежаще выбрать начальную точку отсчета). Затем те же равенства (19) приводят к заключению, что а служит углом касательной к той же кривой с осью х. Наконец, дифференцируя (18), найдем, что кривизна будет равна

и, таким образом, уравнение (14) действительно оказывается натуральным уравнением для нашей кривой. Итак, каждое уравнение вида (14), где функция непрерывна, может быть рассматриваемо как натуральное уравнение некоторой кривой.

Обращаем внимание читателей на то, что за счет выбора начальной точки и направления отсчета дуг на кривой в ее натуральное уравнение можно вносить (впрочем несущественные) изменения.

В заключение заметим еще, что две симметрично расположенные кривые (рис. 13) имеют натуральные уравнения вида (14), разнящиеся лишь знаком правой части

Действительно, при согласном выборе начальных точек и направления для отсчета дуг на обеих кривых, радиусы кривизны их будут иметь противоположные знаки. Обратно, две кривые, имеющие, соответственно, уравнения (21), передвижением по плоскости могут быть приведены в симметричное положение. Можно не считать и такие две кривые существенно разнящимися по форме.

Рис. 13.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление