Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

333. Примеры.

1) Найти кривую, отвечающую натуральному уравнению

Имеем

так что Выбирая а в качестве параметра, получим затем

откуда

Кривая оказалась эвольвентой круга [225, 8)].

2) То же для натурального уравнения Здесь

Тогда

и отсюда, интегрируя,

Если перейти к параметру то уравнения полученной кривой примут вид

и мы узнаем циклоиду [225, 6)], лишь сдвинутую и перевернутую по сравнению с обычным ее расположением.

3) То же для натурального уравнения

Очевидно,

и, наконец,

Перейдем к полярным координатам. Прежде всего

Затем, вводя постоянный угол со под условием будем иметь

так что полярный угол в можно принять равным откуда Окончательно полярное уравнение найденной кривой будет таково:

это - логарифмическая спираль [226, 3)]. Величина коэффициента при роли не играет, его можно свести к 1 поворотом полярной оси.

4) Займемся теперь задачей другого рода: станем по заданной кривой устанавливать ее натуральное уравнение.

(а) Для цепной линии — имели [331, 1); 252, 1)]

отсюда

(б) Для астроиды если за начало для отсчета дуг выбрать середину ее ветви в первом квадранте, будет [ср. 331, 3)]

Поэтому

и окончательно натуральное уравнение астроиды может быть написано в виде

(в) В случае кардиоиды нас было [331, 9); 252, 6)]

очевидно,

Последние два результата содержатся как частные случаи в следующем. Для и гипоциклоиды [225, 7)] натуральное уравнение будет

Нетрудно вновь получить натуральные уравнения эвольвенты круга, циклоиды и логарифмической спирали, известные нам из

5) По натуральному уравнению кривой можно установить натуральное уравнение ее эволюты. Мы имели соотношение [255, 15)]

Если начало для отсчета дуг на эволюте выбрать так, чтобы было [см. 255, 2°], то, исключая и из этих двух соотношений и натурального уравнения данной кривой, придем к зависимости между , т. е. к натуральному уравнению эволюты.

(а) Для логарифмической спирали тогда . С точностью до обозначений мы вернулись к прежнему уравнению, отсюда заключаем, что эволютой будет такая же логарифмическая спираль, которая от исходной может отличаться лишь положением [ср. 254, 5)].

(б) Для эвольвенты круга

(результат, который следовало предвидеть).

(в) Если натуральное уравнение кривой имеет вид то ее эволюта будет такой же кривой, но в к раз увеличенной по линейным размерам.

Действительно, имеем

и, наконец,

Отсюда и вытекает сделанное утверждение.

Полученный результат применим к циклоиде [ср. 254, 4)], к эпи- и гипоциклоиде, в частности, к кардиоиде и к астроиде [ср. 254, 3)].

Замечание. Указанный метод во всех случаях позволяет судить лишь о форме эволюты, оставляя открытым вопрос об ее положении.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление